Trigonometría/Análisis de funciones trigonométricas

Función del seno

${\begin{array}{rccl}\operatorname {sen} :&\mathbb {R} &\longrightarrow &\left[-1,1\right]\\&x&\mapsto &y=\operatorname {sen}(x)\end{array}}$

• Función:

Dominio: $x\in \mathbb {R}$

Recorrido: $y\in [-1,1]$

Período: $2\pi \;rad$

Continuidad: $Continua\,en:x\in \mathbb {R}$

Creciente en: $\dots \cup \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}\right)\cup \dots$

Decreciente en: $\dots \cup \left({\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {5\pi }{2}},{\frac {7\pi }{2}}\right)\cup \dots$

Máximos: $\left(\left({\frac {1}{2}}+2\cdot k\right)\pi ,1\right)\;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Mínimos: $\left(\left({\frac {3}{2}}+2\cdot k\right)\pi ,-1\right)\;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Impar: $\operatorname {sen}(-x)=-\operatorname {sen}(x)$

Corte con el eje x: $x=(\pi \cdot k)\;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Corte con el eje y: $y=0$

Función del coseno

${\begin{array}{rccl}\cos :&\mathbb {R} &\longrightarrow &\left[-1,1\right]\\&x&\mapsto &y=\cos(x)\end{array}}$

• Función:

Dominio: $x\in \mathbb {R}$

Recorrido: $y\in [-1,1]$

Período: $2\pi \,rad$

Continuidad: $Continua\;en:x\in \mathbb {R}$

Creciente en: $\dots \cup (-\pi ,0)\cup (\pi ,2\pi )\cup \dots$

Decreciente en: $\dots \cup (0,\pi )\cup (2\pi ,3\pi )\cup \dots$

Máximos: $(2k\,\pi ,1)\;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Mínimos: $((2k+1)\pi ,-1)\;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Par: $\cos(-x)=\cos x$

Corte con el eje x: $x=\left({\frac {1}{2}}+k\right)\pi \;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Corte con el eje y: $y=1$

Función de la tangente

${\begin{array}{rccl}\tan :&\left({\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\cdot k:\forall k\in \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=\tan(x)\end{array}}$

• Función

Dominio: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Recorrido: $y\in \mathbb {R}$

Continuidad: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Período: $\pi \,rad$

Creciente en: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: $\tan(-x)=-\tan(x)$

Cortes con el eje x: $x=k\,\pi \;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Corte con el eje y: $y=0$

Función de la cosecante

La función de la cosecante es la inversa del seno:

$\csc(x)={\cfrac {1}{sen(x)}}$

${\begin{array}{rccl}\csc :&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=\csc(x)\end{array}}$

• Función

Dominio: $x\in \dots \cup (0,1)\pi \cup (1,2)\pi \cup \dots$

Recorrido: $(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$

Período: $2\pi \;rad$

Continuidad: $x\in \dots \cup (0,1)\pi \cup (1,2)\pi \cup \dots$

Creciente en: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {5}{2}},{\cfrac {7}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Decreciente en: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {3}{2}},{\cfrac {5}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Impar: $\csc(-x)=-\csc(x)$

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y: No corta

Función de la secante

La función de la secante es la inversa de coseno:

$\sec(x)={\cfrac {1}{\cos(x)}}$

${\begin{array}{rccl}\sec :&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=\sec(x)\end{array}}$

• Función

Dominio: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Recorrido: $y\in (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$

Período: $2\,\pi \;rad$

Continuidad: $x\in \dots \cup \left({\cfrac {-1}{2}},{\cfrac {1}{2}}\right)\pi \cup \left({\cfrac {1}{2}},{\cfrac {3}{2}}\right)\pi \cup \dots$

Creciente en: $x\in \dots \cup (0,1)\pi \cup (2,3)\pi \cup \dots$

Decreciente en: $x\in \dots \cup (1,2)\pi \cup (3,4)\pi \cup \dots$

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Par: $\sec(-x)=-\sec(x)$

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y: $y=1$

Función de la cotangente

La función de la cotangente es la inversa de la tangente:

$\cot(x)={\cfrac {1}{\tan(x)}}$

${\begin{array}{rccl}\cot :&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=\cot(x)\end{array}}$

• función

Dominio: $x\in \dots \cup (0,1)\,\pi \cup (1,2)\,\pi \cup \dots$

Recorrido: $y=\mathbb {R}$

Continuidad: $Continua\;para:\;x\in \dots \cup (0,1)\,\pi \cup (1,2)\,\pi \cup \dots$

Período: $\pi \,rad$

Decreciente en: $x\in \dots \cup (0,1)\,\pi \cup (1,2)\,\pi \cup \dots$

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: $\cot(-x)=-\cot(x)$

Cortes con el eje x: $x=\left({\cfrac {1}{2}}+k\right)\pi \;,\quad k\in \mathbb {Z}$

Corte con el eje y: no existe