Teorema del binomio

Potencias de un binomio. Teorema del binomioEditar

El Teorema del binomio de permite desarrollar la potencia de una suma o diferencia de dos monomios.[1]

 

Siendo  .

Formulación del teoremaEditar

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de   (que también es representado ocasionalmente como   o  ) se obtiene la siguiente representación:

 

El coeficiente de   en el desarrollo de   es   donde   recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos.

Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

 

EjemploEditar

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2)  

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

 

DemostraciónEditar

Demostraremos la fórmula anterior por inducción sobre N.

Base de inducciónEditar

Comprobamos que la fórumula se verifica para n = 1:

 

Paso de inducciónEditar

Se trata de comprobar que, si la fórmula se verifica para el valor n, entonces se verifica para n + 1.


Puesto que  , se tiene


 


 


 

[...]

ImportanteEditar

El teorema del binomio dio un vuelco cualitativo cuando el exponente de la potencia de un binomio , se considera un número racional; obviamente con una cantidad infinita de términos, si se trata de exponentes enteros negativos o números fraccionarios, y, correlativamente, los los números combinatorios que se se usan en dichos casos, difieren del típico número combinatorio de enteros no negativos.<ref> Banach, Stefan: "Cálculo diferencial e integral", ISBN 968-18-3949-8, (1991)

  1. A Isaac Newton le cupo ampliar para potencia racional que es un desarrollo infinito