Teoría de conjuntos/Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel/El lenguaje de la teoría axiomática de conjuntos

Al parecer en la teoría de conjuntos, más que en cualquier otra rama de las matemáticas, es necesario contar con un conjunto determinado de símbolos mediante los cuales puedan expresarse cuales quiera enunciados a cerca de la materia. Esto, aunque mucho muy conveniente, no es estrictamente necesario, pudiéndose hacer uso del castellano, como se ha hecho en el capítulo anterior, para expresar los axiomas y resultados de la teoría. Sin embargo, esto no evitaría tener que reconocer una diferencia importante entre el lenguaje castellano con el que hablamos, y en ocasiones explicamos, los axiomas de la teoría, y el lenguaje castellano mediante el cual formulamos los axiomas y resultados mismos. Como veremos en lo que sigue, considerar esa diferencia es de importancia por más de una razón.

Para empezar, aclaramos que la teoría que se expone en este capítulo, como el nombre del mismo lo sugiere, se construye a partir de unos principios básicos, llamados axiomas. En particular, estos axiomas se conocen como axiomas de Zermelo-Fraenkel, en honor a los matemáticos Ernst Zermelo (1871-1953) y Abraham Fraenkel (1891-1965). Realmente estos axiomas no reflejan nada más que propiedades intuitivamente ciertas de los conjuntos, si bien están pensados para eliminar ciertos resultados indeseables que tenían lugar en la teoría de conjuntos anterior a la de Zermelo-Fraenkel, aunque permitiendo los resultados que si son necesarios e importantes. Pero para ver más a fondo todo esto, introduzcamos pues el lenguaje al que ya nos hemos referido.

Definición 2.1 Llamaremos Lenguaje de la Teoría Axiomática de Conjuntos al lenguaje formal que contiene un solo relator diádico eventual, $\in$ . Esta lenguaje lo representaremos por LETAC.

Así pues, nuestro lenguaje de la teoría de conjuntos es un ejemplo de lenguaje formal, y por tanto, contiene los símbolos que todo lenguaje formal debe incluir obligatoriamente: variables ( $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\ldots$ ), constantes( $c_{0}$ , $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\ldots$ ), los conectores lógicos de negación ( $\neg$ ) e implicación ( $\rightarrow$ ), el relator diádico de igualdad ( $=$ ) y el cuantificador universal ( $\forall$ ). Los otros símbolos, como el que expresa conjunción ( $\wedge$ ), disyunción ( $\vee$ ), coimplicación ( $\leftrightarrow$ ) y cuantificación existencial ( $\exists$ ) se definen en términos de los símbolos antes mencionados, y no pertenecen per se a LETAC, si no que sirven para abreviar fórmulas de este lenguaje. Para aclarar un poco a cerca de la función que tienen los símbolos de LETAC, podemos decir que $\rightarrow$ captura el significado de la frase si… entonces… Sin embargo, la función de $\rightarrow$ , y la de todos los demás símbolos de LETAC, queda determinada por las reglas de inferencia de nuestro sistema, a saber, el modus ponendo ponens, y la regla del cuantificador universal.

Definición 2.2 Las cadenas de signos siguientes se dicen fórmulas atómicas de LETAC:

x_{1}\in x_{2},\qquad c_{1}\in x_{1},\qquad c_{1}\in c_{2},\qquad x_{1}\in c_{1},

x_{1}=x_{2},\qquad c_{1}=x_{1},\qquad c_{1}=c_{2},\qquad x_{1}=c_{1}.

Obsérvese que estas son las fórmulas más simples que tienen sentido desde el punto de vista intuitivo.

Por otro lado, va a ser necesario contar con cadenas de signos que expresen cosas más complejas que puedan construirse a partir de las fórmulas atómicas. Con el prpopósito de identificar estás cadenas de signos, se introduce el concepto de fórmula de LETAC:

toda fórmula atómica de LETAC $\phi$ es una fórmula de LETAC
si $\phi$ es una fórmula de LETAC, entonces $\neg \phi$ es una fórmula de LETAC.
si $\phi$ y $\theta$ son fórmulas de LETAC, entonces $\phi \rightarrow \theta$ es una fórmula de LETAC.
si $\phi$ es una fórmula de LETAC, entonces $\forall x_{1}(\phi )$ y $\exists x_{1}(\phi )$ son fórmulas de LETAC.

Debemos hacer énfasis en que los símbolos $\phi$ y $\theta$ no son símbolos de nuestro LETAC, sino que son formas de referirnos a una cadena de signos. Cunado decimos que $\phi$ es una fórmula de LETAC, nos referimos a que es una cadena de signos, signos que si pertenecen a LETAC, que cumple los requisitos para ser una fórmula, y no que $\phi$ sea algo dentro de LETAC. Esto trae a discusión una de las diferencias entre el Lenguaje de la Teoría Axiomática de Conjuntos y el lenguaje mediante el cual hablamos de éste, y que, para nuestro caso, es el castellano complementado con alfunos otros símbolos (como los caracteres $\phi$ , $\theta$ , $\wedge$ , $\vee$ , $\exists$ ). Para recordar la diferencia, nos referiremos al lenguaje mediante el que hablamos de LETAC con el término genérico de metalenguaje, es decir, un lenguaje externo, fuera de LETAC y mediante el que hablamos de LETAC. Así pues, las definiciones anteriores serían, viéndolo de forma estricta, metadefiniciones, donde símbolos como $\phi$ figuran solo dentro de nuestro metalenguaje, y son útiles por que mediante ellos puede hablarse de LETAC. En realidad, como veremos más adelante, existen principios de la teoría de conjuntos que no pueden establecerse mediante el uso de LETAC solamente, por que hay que recurrir al metalenguaje.