Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de generadores y Base de un espacio vectorial

Sistema generador editar

Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.


Ejemplo editar


En     , los vectores


 


forman un sistema generador ya que cualquier vector       en       se puede poner como combinación lineal de       y    :


 


Base editar


Una base de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.


Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.


Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.


Dada una base


 


y un vector     , éste se puede escribir de la siguiente forma:


 


Los numeros       reciben el nombre de coordenadas del vector       en la base     .


Ejemplo editar


El vector       expresado en la base     , siendo       y     , es:


 


de donde:


 


Las coordenadas del vector       en la base       son   -2 y 6.


En       cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base. En       cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.


Fuentes editar

  • Parte de este artículo incorpora material de wikillerato, publicado bajo licencia GFDL.