Problemario de Señales y Sistemas/Respuesta temporal de sistemas II

Respuesta temporal de sistemasEditar

Considere el sistema que se muestra   en el que   y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es:

 

Determine:

  1. La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
  2. La respuesta del sistema a  
  3. Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia  , ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
  4. Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

Subsección solución 1Editar

Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que   , si   entonces tenemos que:

  , así mismo sabemos que:

   

Sabiendo que  , tenemos que:

 

Hacemos descomposición por fracciones simples:

  +   +  

Tenemos que:  ,   ,  

De donde tenemos que:   +   +  

Ademas sabemos que la transformada de Laplace de   es  ,.

Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a   tenemos que:

             , t>0

Subsección Solución 2Editar

Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como   luego   Ahora sabemos que:   Luego tenemos que   entonces queda:   Ahora descomponemos en fracciones simples:   +   +   +   Luego tenemos que los coeficientes son:

 

 

 

 

Ahora escribimos

  +   +   +  

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo   es  

Aplicando la transformada inversa a  encontramos que :

    +   +   ,t>0

Subsección Solución 3Editar

Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339

A partir de la función de transferencia:    

Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

  =>  

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

Archivo:Magnitudnew.PNG

FASE:

Archivo:Fasenew.PNG



Subseccion solucion pregunta 4Editar

Oswaldo Gonzalez #0335981


Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:

  


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

  +  


  y  

Sabemos que la transformada de Laplace de   es  , por lo que anti-transformando obtenemos:

por lo tanto:

 

Se debe escoger el mayor valor de   posible, entiéndase  , para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

        
  +   


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

 

por definicion tenemos    

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio :  

haciendo el cambio   obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

  cuyas raices son   y  

asi, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente     pues   debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.