Números y Operaciones/Orden de los números naturales

Una propiedad muy importante que cumplen los números naturales, es que están totalmente ordenados. Dados dos números a y b, necesariamente tiene que verificarse una y sólo una de estas tres posibilidades:

• $a=b$ (a es igual a b)
• $a<b$ (a es menor que b)
• $a>b$ (a es mayor que b)

donde $a<b$ implica que existe un número natural $m$ tal que $a+m=b$. La definición es análoga para $a>b$, existe un número natural $m$ tal que $a=b+m$ Con respecto a la propiedad de orden, también existen los símbolos ≤ y ≥, que se definen como sigue:

• $a\leq b$ siempre que $a<b$ o bien $a=b$
• $a\geq b$ siempre que $a>b$ o bien $a=b$

Ejemplos

1. $2<3$, pues existe el número natural $1$ tal que $2+1=3$
2. $7>3$, pues existe el número natural $4$ tal que $7=3+4$
3. $10\leq 10$, pues $10=10$
4. $21\geq 15$, pues $21>15$ al existir el número natural $6$ tal que $21=15+6$

Ejercicio 1: De la misma manera que en los ejemplos anteriores, muestre que:

1. $5<8$
2. $11>8$
3. $5\leq 10$
4. $21\geq 7$

Ejercicio 2: En la siguiente tabla determine con los simbolos " $<$ " ó " $>$ " si los números son mayor que ó menor que:

Número	Simbolo	Número
6	.....	12
13	.....	12
23	.....	27
99	.....	110
112	.....	98

Antecesor y sucesor

Todo número natural, a excepción del 1, lo antecede siempre un número natural más pequeño, al que denominaremos antecesor.

Ejemplo: 8 es el antecesor de 9.

Además, dado cualquier número natural, le sigue siempre otro número natural más grande, al cual denominaremos sucesor. Como consecuencia de esto, el conjunto de los números naturales es infinito.

Ejemplo: 4 es el sucesor de 3.

Ejercicio

No hay acuerdo total acerca de incluir al número 0 (cero) en el conjuntos de los números naturales pues hay buenas razones para incluirlo y para no incluirlo; usualmente textos escolares definen a los naturales como {0,1,2,...} y los textos universitarios suelen definir a los naturales como {1,2,...}.Así que nosotros denotaremos los números naturales por

$\mathbb {N} =\{1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;...\;\}$

y cuando el cero este incluido lo denotaremos por

$\mathbb {N} _{0}=\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;...\;\}$

Este conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque:

• Tiene un número infinito de elementos

• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).