Números y Operaciones/Números Naturales/Mínimo Común Múltiplo

Múltiplo

Sea n ∈ $\mathbb {N} _{0}$. Definimos como múltiplo de n a todo número natural que contiene a n un número exacto de veces.

Por ejemplo, tenemos que el número 20 es múltiplo del número 4, pues 20 contiene a 4 un número igual a 5 veces. Por el contrario, el número 15 no es múltiplo del número 6, pues el 15 contiene al 6 un número igual a 2,5 veces, que no es un número natural.

Sea n ∈ $\mathbb {N}$. Definimos el conjunto de múltiplos de n como el conjunto formado por los números que se obtienen al multiplicar n por cada uno de los números naturales. A tal conjunto lo denotamos por M(n). Es decir:

$M(n)=\{n,\;2n,\;3n,\;4n,\;5n,\;...\;\}$

Ejemplo

Vamos a buscar los múltiplos del número 5, que corresponden al siguiente conjunto:

$M(5)=\{5,\;10,\;15,\;20,\;25,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$

Ejercicios
Hallar los siguientes conjuntos:

1. $M(2)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$
2. $M(3)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$
3. $M(7)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$
4. $M(10)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El MCM de dos o más números es el menor número que contiene exactamente a cada uno de los números dados.

Ejemplos

• El MCM entre los números 12 y 36 es el número 36, pues este es el número más pequeño que contiene a los tres números, es decir:
  

$M(12)=\{12,\;24,\;36,\;48,\;60,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$ $M(36)=\{36,\;72,\;108,\;144,\;180,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$

Como 36 se repite en ambos conjuntos tenemos que el mínimo que contiene a los dos números es 36.

$MCM(12,36)=36$

• El MCM entre los números 4, 6 y 9 es el número 36, pues este es el número más pequeño que contiene a los tres números, es decir:
  

$M(4)=\{4,\;8,\;12,\;16,\;20,\;24,\;28,\;32,\;36,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$ $M(6)=\{6,\;12,\;18,\;24,\;30,\;36,\;42,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$ $M(9)=\{9,\;18,\;27,\;36,\;45,\;54,\;63,\;\cdot \cdot \cdot \;\}$

Como 36 se repite en estos tres conjuntos, tenemos que el mínimo que contiene a estos tres números es 36.

$MCM(4,6,9)=36$

Ejercicios

Hallar:

• $MCM(6,8)=.....$

$M(6)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $M(8)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCM(8,12)=.....$

$M(8)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $M(12)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCM(12,15)=.....$

$M(12)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $M(15)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCM(15,20)=.....$

$M(15)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $M(20)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$