Números y Operaciones/Números Naturales/Máximo Común Divisor

Divisor

Sea n ∈ $\mathbb {N}$. Definimos como divisor de n a todo número natural que está contenido en n un número exacto de veces.

Por ejemplo, tenemos que el número 9 es divisor de 18, pues el 9 está contenido en 18 un número igual a 2 veces. Por el contrario, el número 3 no es divisor de 10, pues el 3 está contenido en 10 un número de veces igual a 3,3, cantidad de veces no exacta.

Sea n∈ $\mathbb {N}$. Definimos el conjunto de divisores de n como el conjunto formado por todos los números que son contenidos por n un número exacto de veces. A tal conjunto lo denotamos por $D(n)$.

Ejemplo

Tenemos que el conjunto de los divisores de 20 son

$D(20)=\{1,\;2,\;4,\;5,\;10,\;20\;\}$

pues cada uno de esos números está contenido en 20 un número exacto de veces.

Ejercicios

Buscar el conjunto de divisores de los siguientes números:

1. $D(9)=\{...,\;...,\;...\;\}$
2. $D(18)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$
3. $D(15)=\{...,\;...,\;...,\;...\;\}$
4. $D(30)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

Reglas de divisibilidad

Un número es divisible por:

• 2, cuando es par.

• 3, cuando la suma de sus cifras se puede dividir exactamente por 3.

• 4 , cuando sus dos últimas cifras son cero o bien forman un número que se puede dividir exactamente por 4.

• 5, cuando su última cifra es 0 ó 5.

• 6, cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

• 8, cuando sus tres últimas cifras son cero o bien forman un número que se puede dividir exactamente por 8.
• 9, cuando la suma de sus cifras se puede dividir exactamente por 9.

• 10, cuando su última cifra es cero.

Para el número 7, la regla no es fácil de retener. Por tanto, en caso de saber si un número es divisible por 7, se recomienda dividir. Si la división es exacta, entonces el número sí es divisible por 7; si la división no es exacta, entonces el número no es divisible por 7.

Ejemplo

Veamos por qué números podemos dividir el número 540, siguiendo las reglas antes enunciadas.

Tenemos que el número es par y termina en 0. Luego, es divisible por 2, 5 y 10. También, sus dos últimas cifras forman el número 40, que es divisible por 4; luego 540 también es divisible por 4.

Vemos que si sumamos sus cifras obtenemos 5+4+0=9, número que es divisible tanto por 3 como por 9. Luego, 540 es divisible por ambos.

Como es divisible por 2 y 3, también lo es por 6.

Y si hacemos las divisiones correspondientes, vemos que 540 no es divisible ni por 7 ni por 8. Esto se puede verificar fácilmente por el hecho de que:

$7\times 77=539$ y $7\times 78=546$, así como $8\times 67=536$ y $8\times 68=544$.

Máximo Común Divisor (MCD)

El MCD de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a cada uno de los números dados.

Ejemplos

• Para 18 y 24, el MCD es el número 6, pues éste es el mayor número que divide exactamente a los números dados, ya que:

$D(18)=\{1,\;2,\;3,\;6,\;9,\;18\;\}$ $D(24)=\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24\;\}$

Los números que se repiten en estos dos conjuntos son 1, 2, 3 y 6, entonces el mayor número de ellos es 6, así

$MCD(24,56,72)=6.$

• Para 24, 56 y 72, el MCD es el número 8, pues éste es el mayor número que divide exactamente a los números dados, es decir

$D(24)=\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24\;\}$ $D(56)=\{1,\;2,\;4,\;7,\;8,\;14,\;28,\;56\;\}$ $D(72)=\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;9,\;12,\;18,\;24,\;36,\;72\;\}$

Los números que se repiten en los tres conjuntos son 1, 2, 4 y 8, entonces el mayor número de ellos es 8, así

$MCD(24,56,72)=8.$

Ejercicios

Hallar el Máximo Común divisor de los siguientes números

• $MCD(12,48)=...$

$D(12)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(48)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCD(65,145)=...$

$D(65)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(145)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCD(16,48,72)=...$

$D(16)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(48)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(72)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$

• $MCD(40,45,90)=...$

$D(40)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(45)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$ $D(90)=\{...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...,\;...\;\}$