Medición y probabilidades/Texto completo

Este texto educativo busca entregar primeros acercamientos a los sistemas de medición (como el sistema métrico) y su relación con el análisis de datos, las tablas de frecuencia, la representación de datos, las medidas de tendencia central y las probabilidades. Primero entregando definiciones generales, para luego pasar a aplicaciones básicas y problemas sencillos.

Medición y probabilidades es un breve texto educativo, que cumpliendo con las licencias libres y abiertas vigentes en Wikilibros, fue creado originalmente en el marco de un proyecto de investigación desarrollado en el Instituto Profesional de Providencia (IPP) de Chile. La autora de la primera versión (3/3/2015) fue Rebeca Parra, una profesora que compartió su trabajo bajo licencias libres. Esta versión fue posteriormente enriquecida y mejorada por quienes la subieron a Wikilibros.

Medición

Las medidas son un concepto que surge todo el tiempo en nuestras vidas cotidianas. ¿Cuál es la distancia entre dos casas? ¿Qué tan larga es una cancha de basquetbol? ¿Qué tan distante se encuentra la Tierra del Sol? A veces necesitamos medir una distancia larga y otras veces necesitamos medir distancias muy cortas.

La medición corresponde a un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado, con el objeto o fenómeno cuya magnitud física que se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

Conceptos básicos

atención

Patrón: Es un tipo de sucesos u objetos que se repite.

Ejemplo de patrón: - - - * - - - * - - - * - - -

Instrumento de medición: Artefacto inventado, en qué se instala el patrón que se usa para medir.

Unidad de Medida: Patrón, arbitrario, instalado en el instrumento de medida.

En la actualidad la inmensa mayoría de los países usa para sus medidas el sistema métrico decimal. De manera que, aunque la lengua no sea comprensible, al menos entendemos en este cartel chino de carreteras las distancias.

Sistema métrico decimal

En el pasado cada país, y en algunos casos cada región, usaban unidades de medidas diferentes. Esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades, en 1791, tras la Revolución Francesa, la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal.

El sistema métrico decimal corresponde al conjunto de medidas que derivan del metro, es un sistema porque es un conjunto de medidas; es métrico porque su unidad fundamental es el metro y decimal porque sus unidades aumentan o disminuyen como potencia de 10.

¿Cómo funciona el Sistema Métrico Decimal?

Grabado en madera de 1800 que divulgaba en Francia las nuevas unidades del sistema métrico decimal, junto con otras, que comenzaban a ser legales en dicho país en esa época.

El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos para medir las siguientes magnitudes:

Sistema Métrico Decimal de longitud

Kilómetro, Hectómetro, Decámetro, metro, decímetro, centímetro y milímetro

Sistema Métrico Decimal de masa

Kilógramo, Hectógramo , Decágramo, gramo, decígramo, centígramo y milígramo

Sistema Métrico Decimal de capacidad

Kilólitro, Hectólitro, decálitro, litro, decílitro, centílitro y milílitro

Sistema Métrico Decimal de superficie

Kilómetro² (cuadrado), Hectómetro², Decámetro², metro², decímetro², centímetro² y milímetro²

Sistema Métrico Decimal de volumen

Kilómetro³ (cúbico), Hectómetro³, Decámetro³, metro³, decímetro³, centímetro³ y milímetro³

Sistema Métrico Decimal de longitud

La unidad de las medidas de longitud es el metro (m). Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, los prefijos griegos Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil, respectivamente. Los submúltipos del metro se forman anteponiendo los prefijos griegos deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro aumentan y disminuyen de diez en diez, y son:

Kilómetro (km)
Hectómetro (Hm)
Decámetro (Dam)
metro (m)
decímetro (dm)
centímetro (cm)
milímetro (mm)

Equivalencias

atención

IMPORTANTE

1 km = 1000 m
1 Hm = 100 m
1 Dam = 10 m
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 m = 1000 mm

Ejemplos:

¿A cuántos metros son equivalentes 2 kilómetros? 2 x 1000 = 2000 m
¿A cuántos metros son equivalentes 4 Hectómetros? 4 x 100 = 400 m
¿A cuántos cm son equivalentes 6 metros? 6 x 100 = 600 cm
¿A cuántos metros son equivalentes 2 dm? 2 : 10 = 0, 2 m
¿A cuántos metros son equivalentes 5 cm? 5 :100 = 0,05 m

Recordar…

Dos ejemplos de áreas expresados en sistema métrico decimal. En azul: 1mm x 1mm = 1 mm²; en rojo: 1cm x 1cm = 1cm².

Perímetro: es la medida del contorno de una figura.

Ejemplo: 2m + 2m + 2m + 2m= 8m

Área : Es la medida de la superficie de una figura.

Ejemplo: 2m x 2m = 4m²

Actividades

¿A cuánto equivale

Calcular las siguientes equivalencias:

3 km = ______ m
4 Hm = ______mm
9 Dam = ______ dm
3,5 m = _______ cm
400 cm = _____ m
58 dm = ______ Dam
3487 mm = ______ m
872 dm = ______ Hm
390 m = ______ km
478 cm = _______ Dam
45,6 dm = _______ km

Preguntas concretas

Resolver los siguientes problemas:

1- Si el perímetro de un terreno cuadrado 24 km ¿Cuántos metros mide cada lado del terreno?
2- Sebastián camina todos los días de su casa al colegio 1,2 km. ¿Cuántos Hm camina Sebastián en ir y volver de la escuela?
3- La distancia de la casa de Emilio a la casa de su abuela son 385 m, si ya lleva recorrido 93 m ¿Cuántos dm le faltan para llegar a la casa de su abuela?

Análisis de datos

Un escriba iraquí del siglo XIII llevando una cuenta estadística.

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.

Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.

¿Que es estadística?

Por ejemplo, en un censo se estudia la población de un país (en la foto, la realización de un censo en Alemania en los años 60). En los censos se busca que la muestra sea prácticamente la totalidad de la población estudiada. Las variables en estudio son muchas, como por ejemplo la calidad de vida. Para indagar acerca se ese tema se pregunta por variables cuantitativas (por ejemplo: cantidad de habitaciones en la casa) y cualitativas (por ejemplo: si acaso las personas saben leer y escribir).

Estadística es la ciencia que agrupa datos, registro ordenado de cualquier clase de hechos que se presta para recuento y comparación.

atención

Definiciones

Población: Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común

Ej: Los ratones del mundo.

Muestra: Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla

Ej: 10 ratones en un laboratorio

Variable: Característica o propiedad de la población que es motivo de estudio.

Ej: Si son más sanos los ratones que escuchan música de Mozart.

Variable cuantitativa: Categoría numérica relacionada con características numéricas del individuo (edad, cantidad de hijos, etc)

Ej: Cantidad de glóbulos rojos en la sangre de los ratones que escuchan Mozart.

Variable cualitativa: Categoría de atributos no medibles (gustos, sexo, etc)

Ej: El color de los ratones que escuchan Mozart.

Ejercicio

Identifique muestra y variable en el siguiente problema:

Se desea saber si los dueños de los automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la conversión de sus motores a gas natural.

Muestra:
Variable:

Pasos para una investigación

atención

Clave

1° Identificar muestra y tipo de variable.
2° Obtención de datos:

a) Vía directa (encuestas, anotaciones).

b) Vía indirecta (reagrupar datos ya obtenidos).

3° Ordenar la información:

a) Una forma de agrupar son las tablas de doble entrada en la que se ordenan los conjuntos de datos de distinta naturaleza para conformar una información general.

b) Otra forma de agrupar es a través de las tablas de frecuencia en la que los datos iguales entre su, se relacionan con las veces que se repiten en el grupo estudiado.

Actividad

Ordenar los siguientes datos en una tabla de doble entrada

Antonia: no estudia, tiene buenas notas.
Javiera: estudia, tiene buenas notas
Manuel: estudia, tiene malas notas
Rebeca: no estudia, tiene malas notas
Sebastián: estudia, tiene buenas notas
Patricio: no estudia, tiene malas notas
Claudia: estudia, tiene malas notas
Emilio: no estudia, tiene buenas notas
Agustín: estudia, tiene buenas notas
Guillermo: no estudia, tiene buenas notas
Francisca: estudia, tiene buenas notas
Javier: no estudia, tiene buenas notas
Maite: estudia, tiene malas notas
Patricia: no estudia, tiene malas notas

Tablas de frencuencia

atención

Definiciones

Frecuencia: Son datos iguales entre sí.
Frecuencia absoluta (fa): número de veces que aparece un valor entre todos los datos obtenidos de la muestra.
Frecuencia relativa (F): Corresponde a la relación entre la frecuencia absoluta y el total de datos de la muestra (n) y se obtiene a través del cuociente entre la frecuencia absoluta y el total

F = f/n.

Frecuencia Porcentual (F%): Es la forma de presentar la frecuencia relativa como un porcentaje. Se obtiene multiplicando por 100, la frecuencia relativa.

F%= F x 100

Actividad

Ejemplo

Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones de los empleados de una empresa.

Mar – montaña- campo- mar – mar – montaña- campo- mar- mar- montaña- campo – mar- campo

Xi	f	F	F%
Mar	6	0,46	46
Campo	4	0,30	30
Montaña	3	0,23	23
Total	13	0,99 · 1	99

Ahora tú

Ordena los siguientes datos en una tabla de frecuencia

Edades: 22 – 21- 27 – 35 -28 – 21- 31- 22 – 21 – 28 – 27 – 31 – 22 – 21 – 34 – 35 – 22 – 27 – 21 – 31

Representación de datos

Se acostumbra a representar gráficamente los datos, para facilitar la labor de observarlos.

Tipos de gráficos

Barra

Diagrama de barra: construcción de rectángulos sobre un eje coordenado; con la magnitud de “y” o “x”.

Los datos de la siguiente tabla de frecuencia son representados a la derecha en un diagrama de barra.

Edades	Frecuencia
12	3
13	5
14	2
15	1
16	6

Punto

Diagrama de Punto: Construcción sobre un eje coordenado, se ubica un punto de intersección de los valores (x, y). Uniendo los puntos se forma una curva o gráfica.

Seguiremos usando los datos de la misma tabla de frecuencia, que ahora vemos representados a la derecha en un diagrama de punto.

Edades	Frecuencia
12	3
13	5
14	2
15	1
16	6

Torta

Diagrama de torta o circular: Consiste en repartir los 360° del círculo proporcionalmente a los datos obtenidos.

* Fórmula: 𝑛/𝐹 = 360°/𝑥

Ahora veamos los datos de la misma tabla de frecuencia, representados en un diagrama de torta a la derecha.

Edades	Frecuencia
12	3
13	5
14	2
15	1
16	6

Medidas de tendencia central

Este mapa muestra la media aritmética de la edad de la población de los diversos países del mundo. En promedio la población es más joven en la mayor parte de los países en desarrollo, mientras que la media artimética de las edades es mucho más alta en los países desarrollados.

Medidas de Tendencia Central son datos que permiten representar las tendencias que tienen un conjunto de datos.

La media artimética más familiar para los estudiantes es su propio promedio de notas.

Media aritmética

Media aritmética (x): ¿Alguna vez has escuchado en matemáticas la palabra "promedio"? ¿Alguna vez has intentado encontrar el promedio o media de un grupo de números? La media es el couciente entre el total de variables sumando por el número de variables

Ejemplo

Por ejemplo un estudiante tiene las siguientes notas en un ramo:

3,8 – 5,9 – 4,1 – 3,8 – 4,5 – 6,3

Para averiguar la media aritmética de esos números (su "promedio de notas") se suman cada una de las notas. Luego el resultado se divide por el número total de notas:

3,8 + 5,9 + 4,1 + 3,8 + 4,5 + 6,3 = 28,4

28,4 / 6 = 4,7

En este caso la media aritmética es 4,7.

Mediana

Mediana (Md): ¿Alguna vez has intentado encontrar el número del centro en un grupo de datos? La mediana es el valor ubicado en el punto medio de todos los valores establecidos en un orden de magnitud (creciente o decreciente)

Ejemplo

Veamos la misma serie de notas del ejemplo anterior

3,8 – 5,9 – 4,1 – 3,8 – 4,5 – 6,3

Ordenados por magnitud (creciente en este caso) quedan así:

3,8 - 3,8 - 4,1 - 4,5 - 5,9 - 6,3

En este caso, ya viendo la serie sabremos que la mediana se ubica en el centro, entre el 4,1 y el 4,5. El numero medio entre ambos, no forma parte de la serie así que deberemos buscarlo:

4,1 - 4,2 - 4,3 - 4,4 - 4,5

De manera que la mediana de la serie es, como podemos ver, 4,3.

Moda

Moda (Mo): Todos hemos oido hablar cotidianamente de la "moda", eso que se lleva más, o lo que muchos hacen en determinado momento, que puede ser vestirse de lunares, usar gel para el cabello o bailar como robot. En Matemáticas también existe el concepto de Moda que es algo parecido, pero no igual. Es muy simple, Moda es el dato que más se repite en una serie de valores.

Ejemplo

Veamos la misma serie de notas que ya conocemos.

3,8 – 5,9 – 4,1 – 3,8 – 4,5 – 6,3

En este caso la nota que mñas se repite es el 3,8 (de hecho es la única que se repite), por lo tanto ese valor es la Moda de esta serie de notas.

Actividad

Calcula las medidas de tendencia central de los siguientes datos:

1 -3- 6- 2- 1 – 5 – 1 – 4 – 6- 3 – 1 – 5 – 2 – 4 – 2

X=

Md=

Mo=

Probabilidades

El estudio de las probabilidades surgió del interés por predecir el resultado de los juegos de azar.

Patrones y probabilidades

Patrón: es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, geométricos, numéricos, etc). Descubrir un patrón en una sucesión sirve para identificar regularidades y predecir valores.

Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o no numéricos. Existen 2 tipos de experimento:

* Determinístico: El resultado es predecible.

* Aleatorio: No se tiene certeza de lo que sucederá, por lo tanto, el resultado no se puede predecir. Los resultados que se pueden obtener con un experimento aleatorio se pueden clasificar en seguros, posibles e imposibles.

Ejemplo

Al lazar un dado de 6 caras con números del 1 al 6, se puede afirmar que:

Se puede obtener un número mayor que 6 es una evento imposible.
Se puede obtener un número menos que 6 es un evento seguro.
Se puede obtener un número par es un evento posible

Actividad

Clasifica los siguientes experimentos en determinístico o aleatorio.

Meter un gol.
Hervir agua en una tetera.

Probabilidad

Afinar el conocimiento de sistemas complejos (como el clima o el movimiento de pequeños cuerpos celestes) podría hacernos replantear lo que consideramos un patrón aleatorio (impredecible), porque con información detallada se le podría calificar ahora casi como uno determinístico (predecible). El asteroide (99942) Apofis, que cruza el espacio en el centro de esta imagen, despertó en el 2004 cálculos de probabilidades que estimaban un peligroso 2,7% de posibilidades de un impacto con la Tierra en un par de décadas. Pero observaciones más precisas ajustaron los números. Un nuevo cálculo del 2006 estima la posibilidad de choque en 1 entre 45.000.

La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

Actividad

Lanza un dado de 6 caras con número del 1 al 6 (material recortable) y registra en la siguiente tabla el número que sale cada vez.

Frecuencia (lanzamiento)	Resultado del lanzamiento
1
2
3
4
5
6

Si lanzas nuevamente el dado ¿Se puede asegurar que es más posible que salga el número que obtuvo mayor frecuencia?

Las probabilidades son una rama de las matemáticas que se usa para predecir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso determinado resulte. La probabilidad es un valor que varía entre el cero y el uno.

atención

La formula

Probabilidad = casos favorables / casos posibles

Si sabemos el numeros de casos posibles (la cantidad de todos los resultados que se pueden dar), ya podremos calcular las probabilidades. ¿Cuáles son las probabilidades de que al lanzar una moneda esta caiga en cara o en cruz? En la foto vemos el sorteo lanzando una moneda al inicio de un partido de tenis del US Open.

Ejemplo

Lanzar una moneda al azar y que salga cara.

En este caso la moneda tiene cara y sello (2 casos posibles) y queremos saber la posibilidad de que salga cara (1 caso favorable). Recordemos que el resultado ser obtiene dividiendo casos favorables en casos posibles:

Probabilidad = ½ = 0,5

Actividad

Calcula las siguientes probabilidades

Lanzar un dado de 6 caras y obtener un número 2 =
Lanzar 2 dados de 6 caras y obtener un número par =
En una bolsa con 3 bolas azules y 3 bolas blancas, sacar una bola blanca=
La probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan 2 caras =
La probabilidad de sacar una bola roja en una caja que tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes=

Algunos enlaces útiles

Para saber más de la medición:

Para saber más de probabilidades:

FIN