Mecánica cuántica/Sistemas de dos electrones

Supongamos un sistema 2 partículas idénticas con $s={\frac {1}{2}}$ (electrones). Como son fermiones idénticos, el estado del sistema conjunto debe estar antisimetrizado.

Primer electrón: $\mathbb {H} _{1}=\mathbb {H} _{1}^{orb}\otimes \mathbb {H} _{1}^{spin}$

Segundo electrón: $\mathbb {H} _{2}=\mathbb {H} _{2}^{orb}\otimes \mathbb {H} _{2}^{spin}$

$|\phi _{1}\rangle =|\phi _{1}^{orb}\rangle \otimes |\phi _{1}^{spin}\rangle$

¿Donde vive el sistema de dos electrones?

$\mathbb {H} =\mathbb {H} _{1}\otimes \mathbb {H} _{2}=\underbrace {\mathbb {H} ^{orb}} _{\mathbb {H} _{1}^{orb}\otimes \mathbb {H} _{2}^{orb}}\otimes \underbrace {\mathbb {H} ^{spin}} _{\mathbb {H} _{1}^{sp}\otimes \mathbb {H} _{2}^{sp}}\to (\ni )\overbrace {|\phi ^{orb}\rangle } ^{|\phi _{1}^{orb}\phi _{2}^{orb}\rangle }\otimes \overbrace {|\phi ^{spin}\rangle } ^{|\phi _{1}^{sp}\phi _{2}^{sp}\rangle }$

El estado total de dos fermiones debe ser antisimétrico

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|\phi \rangle ={\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|\phi _{1}^{orb}\phi _{2}^{orb}\rangle \otimes |\phi _{1}^{sp}\phi _{2}^{sp}\rangle =$

$=|\phi _{2}^{orb}\phi _{1}^{orb}\rangle \otimes |\phi _{2}^{spin}\phi _{1}^{sp}=-|\phi _{1}^{orb}\phi _{2}^{orb}\rangle \otimes |\phi _{1}^{sp}\phi _{2}^{sp}\rangle =-|\phi \rangle$

• La antisimetría puede conseguirse de dos maneras: con una parte orbital simétrica y una parte de spin antisimétrica, o viceversa.

Aquí acaba la parte olvidada

Encontrad el autoestado de energía...

$E=E_{1}+E_{2}\Rightarrow E=E_{0}+E_{0}\Rightarrow s=0.$

• Si dos partículas idénticas están "separadas" en el espacio no es "necesario" simetrizar su función de onda (se pierde la coherencia orbital).

Si nos planteamos $\phi (x_{1},x_{2})=\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})$

$\phi (x_{1},x_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\phi (x_{1},x_{2})+\phi (x_{2},x_{1})\right]={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})+\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{1})\right]$

La densidad de probabilidad de encontrar un electrón en $x_{1}$ y el otro en $x_{2}$ es:

$\left|\phi _{1}(x_{1})\cdot \phi _{2}(x_{2})\right|^{2}$

Esto de aquí es lo mismo que tomar la función de onda simétrica (módulo cuadrado) y sumarle las coordenadas cambiadas

$\left|\phi _{s}(x_{1},x_{2})\right|^{2}+\left|\phi _{s}(x_{2},x_{1})\right|^{2}.$

Demostración:

${\frac {1}{2}}\left|\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})+{\cancel {\phi (x_{2})}}{\cancel {\phi _{2}(x_{1})}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}\left|{\cancel {\phi _{1}(x_{2})}}{\cancel {\phi _{2}(x_{1})}}+\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\right|^{2}.$

• "Si simetrizas las partículas, ambas están en las mismas posiciones con la misma probabilidad."
• "$x_{1}$ es un valor cercano al valor promedio."
• Es un hecho empírico que NO existen sistemas de partículas idénticas de simetría mixta o sin simetría.
• Conexión spin-estadistica: Las partículas de spin semientero $({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots )$ son fermiones y las de spin entero $(0,1,2,\ldots )$ son bosones.

• Consecuencia: Principio de exclusión de Pauli

• Para ilustrar el comportamiento de fermiones y bosones consideremos el siguiente ejemplo:

• Si las dos partículas no son idénticas el sistema puede encontrarse en los siguientes estados:

• Si son bosones idénticos debo "simetrizar"

• A temperaturas bajas las partículas tienen a ocupar el estado fundamental de energia.

• Supongamos que conocemos el espectro de energías de una partícula escalar (bosón) sometida a un cierto potencial.