Mecánica cuántica/Representación de posiciones

El operador posiciónEditar

La posición de una particula viene dada por un valor propio del operador (vectorial) posición

 

La base ortonormal de   es

 

donde

 

para   las componentes de   y

 

donde   etiqueta a todos los puntos del espacio  

OrtonormalidadEditar

 

ClausuraEditar

 

 

 

 

Módulo de  

 

  debe ser una función cuadrado sumable

 

Hay un isomorfismo entre   y  .

La función de onda de   es  . Esto quiere decir que la delta de Dirac no puede ser considerado un estado físico sin cambiar el postulado correspondiente. Hay que hacer algo a lo que ya volveremos.

Operador de traslaciónEditar

Se define el operador de translación (unitario)   como

 

Hay un conjunto continuo de operadores de traslación  

¿Por qué es unitario?

 

Las traslaciones se pueden componer

 

Conjunto de las   forman un grupo continuo o de Lie ya que la composición de dos traslaciones es una traslación, se respeta la propiedad asociativa, existe elemento identidad   y existe elemento inverso  .

El generador de las traslacionesEditar

Se define el generador de las traslaciones a partir de la traslación infinitesimal.

Caso 1-dimesionalEditar

 

Una traslación infinitesimal desplaza un poquito los vectores que estan sobre una recta.

 

donde   es el operador generador de las traslaciones.

Si   es un operador unitario,     es un operador hermítico.

 

 

 

 

El signo   depende de la definición, en algunos libros ponen  .

 

 

¿Qué es un diferencial?

 

Igualando las dos expresiones de T(x+dx) se tiene

 

con la condición

 

 

 

 

 

¿Cómo acúta...?

 

 

Comparando estas dos expresiones deducimos como actúa el conmutador

 

(solo se ha aplicado la definición de   y utilizado los resultados de arriba)

 

 

Os propongo que demostréis esto:

 

Y esto es igual que lo que tengo a la derecha

 

 

 

Multiplicando por  

 

 

Si os creéis que los operadores se definen a partir de sus relaciones de conmutación, esos dos operadores son lo mismo. Son operadores "distintos" pero actúan igual sobre todos los vectores de la base.

  El momento lineal   "es" el generador de las traslaciones en la dirección  .

Esto último aún no lo podeis entender, pero es una frase crítica.

Fijaos que

 

El momento de la partícula me dice cómo se comporta cuando hago traslaciones, o viceversa.

Esto va a ser muy importante en el capítulo 4, el momento va a tener importancia en cómo se trasladan las cosas.

Caso 3-dimensionalEditar

La demostración en 3 dimensiones es igual