Mecánica cuántica/Operadores y observables

Observables

En un Stern-Gerlach se mide la componente z del spin de un átomo de plata.

• La componente z del spin es un observable.

Un observable es cualquier cosa que se puede medir en Mecánica Cuántica.

Postulado 2: Cada observable se representa en Mecánica Cuántica mediante un operador lineal autoadjunto que actúa sobre el espacio de Hilbert $\mathbb {H}$ del sistema físico considerado.

• Un operador $A$ es algo que transforma un vector en otro vector peteneciente al mismo espacio de Hilbert.
• Un operador lineal cumple $A(a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle )=aA|\alpha \rangle +bA|\beta \rangle .$
• El adjunto de un operador $A$, $A^{\dagger }$, es tal que $\langle \alpha |A^{\dagger }\leftrightarrow A|\alpha \rangle .$
• Un operador autoadjunto es tal que: $A=A^{\dagger }.$
• Los operadores se pueden componer $A\cdot B\equiv A\,B:\;A\,B|\alpha \rangle \equiv A(B|\alpha \rangle ).$
• Cumplen la propiedad asociativa $X(YZ)=(XY)Z.$
• El operador suma de dos operadores se define como: $(A+B)|\alpha \rangle =A|\alpha \rangle +B|\alpha \rangle$. Esta es una definición para cualquier operador, es independiente de la linealidad.
• Para saber cómo actúa A sobre un vector de H es suficiente especificar cómo actúa sobre cada vector de la base (ya que todo vector se puede expresar como combinación lineal de vectores de la base) $|e_{i}\rangle \mapsto A|e_{i}\rangle =|e'_{i}\rangle =|e_{j}\rangle A_{ji}.$
• Para especificar como actúa un operador lineal sobre los vectores de una base sólo se necesita una matriz.

${\begin{pmatrix}|e'_{1}\rangle &|e'_{2}&\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &|e_{2}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots \\A_{21}&\ddots &\\\vdots \end{pmatrix}}.$

• Para recordar el producto de matrices nota que los subíndices no están cruzados $\alpha '_{j}=A_{ji}\alpha _{i}.$

Ejercicio: Sea $A$ un operador lineal sobre $\mathbb {H}$ con base $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$

$A|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )$

$A|-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle -|-\rangle ),$

¿cómo actúa sobre el resto de vectores?

Se constuye la matriz (que depende de la base)

$A\doteq {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}.$

• ¿Cómo actúa A sobre un elemento del dual $\mathbb {H} ^{*}$?

Como $A|e_{j}\rangle$ es un número complejo, definimos la acción de $A$ sobre $\langle e_{i}|$

$\langle e_{i}|A$

como aquella para la que se obtiene el mismo resultado que al realizar

$\langle e_{i}|(A|e_{j}\rangle ).$

Podemos por tanto omitir los paréntesis de este producto escalar.

• Se deduce que $\langle e_{i}|A=A_{ij}\langle e_{j}|$.
• $\langle \alpha |A|\beta \rangle$ es independiente de la base (por lo que no usamos el símbolo $\doteq$)

$\langle \alpha |A|\beta \rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}A{\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \end{pmatrix}}.$

• ¿Qué es un operador adjunto $A^{\dagger }$?

Hemos establecido que el dual de $|\alpha \rangle$ es $\langle \alpha |$, pero el dual de $A|\alpha \rangle \in \mathbb {H}$ NO es $\langle \alpha |A$, sino $\langle \alpha |A^{\dagger }\in \mathbb {H} ^{*}$.

$A|\alpha \rangle ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots \\A_{21}&\ddots &\\\vdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1i}\alpha _{i}\\A_{2i}\alpha _{i}\\\vdots \end{pmatrix}}$

$\langle \alpha |A^{\dagger }={\begin{pmatrix}A_{1i}^{*}\alpha _{i}^{*}&A_{2i}^{*}\alpha _{i}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\alpha _{2}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{11}^{*}&A_{12}^{*}&\cdots \\A_{21}^{*}&\ddots &\\\vdots \end{pmatrix}}$

• $A^{\dagger }$ es la matriz $A$ transpuesta y complejo-conjugada $A^{\dagger }=\left(A^{T}\right)^{*}.$

Nota matemática: Dados $A$ y $B$ $(AB)_{ij}=A_{ik}B_{kj}.$

• Un observable es un operador autoadjunto o hermítico (la diferencia entre ambos conceptos es demasiado sutil).

Medidas

Postulado 3: Sea $A$ un operador que actúa sobre un espacio de Hilbert $\mathbb {H}$ y $\{|a_{i}\rangle \}$ una base ortonormal de vectores propios de $A$ con autovalores o valores propios $a_{i}$

$A|a\rangle =a_{i}|a\rangle .$

Dado un sistema físico caracterizado por un vector unitario $|\alpha \rangle \in \mathbb {H}$, al medir el observable $A$ se obtendrá como resultado alguno de los valores propios de $A$. Además, la probabilidad de obtener el valor propio $a_{i}$ es

• si $a_{i}$ es no degenerado (no repetido)

${\begin{matrix}P_{a_{i}}&=&|\langle a_{i}|\alpha \rangle |^{2}\\&=&|proy_{|a_{i}\rangle }|\alpha \rangle |^{2}\\&=&|\alpha _{i}|^{2}\\&=&\langle \alpha \underbrace {|a_{i}\rangle \langle a_{i}|} _{{\mbox{Proyector }}P_{a_{i}}}\alpha \rangle \\&=&\langle \alpha |P_{ai}|\alpha \rangle \\&=&\langle \alpha |P_{a_{i}}P_{a_{i}}|\alpha \rangle \\&=&|P_{a_{i}}|\alpha \rangle |^{2}\end{matrix}}$

donde se ha usado el hecho de que

• Los proyectores son operadores idempotentes (una vez que se proyecta un vector, las siguientes proyecciones no modifican el resultado)

$P^{2}=|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=P.$

• Si el valor propio $a$ es degenerado

$\left.{\begin{matrix}A|a_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}\rangle \\A|a_{j}\rangle =a_{j}|a_{j}\rangle \end{matrix}}\right\}\Rightarrow a_{i}=a_{j}=a,$

la probabilidad de obtener el valor propio $a$ es

${\begin{matrix}P_{a}&=&\sum _{\forall a_{i}=a}\left|\langle a_{i}|\alpha \rangle \right|^{2}\\&=&\sum _{\forall a_{i}=a}|\alpha _{i}|^{2}\\&=&\sum _{\forall a_{i}=a}\langle \alpha |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\alpha \rangle \\&=&\sum _{\forall a_{i}=a}\langle \alpha |P_{i}|\alpha \rangle \\&=&\langle \alpha |\left(\sum _{\forall a_{i}=a}P_{i}\right)|\alpha \rangle \end{matrix}}$

• Cuando sumas proyectores te quedan proyectores sobre un espacio más grande.
• La suma sobre todo el espacio es la identidad.
• Los valores propios de un operador hermítico (autoadjunto, $A^{\dagger }=A$) $A$ son reales.
• Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
• Podemos constuir base una de autovectores de $A$ $\{|a_{i}\rangle \}$. $A{\begin{pmatrix}|a_{1}\rangle &|a_{2}\rangle &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|a_{1}\rangle &|a_{2}\rangle &\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots \\0&a_{2}&\\\vdots &&\ddots &\end{pmatrix}}$
• Dos vectores con valor propio distinto son ortogonales.
• Si dos vectores tienen el mismo valor propio, entonces cualquier combinación lineal también es un vector propio con el mismo valor propio $\left.{\begin{matrix}A|a_{1}\rangle =a_{1}|a_{1}\rangle \\A|a_{2}\rangle =a_{2}|a_{2}\rangle \end{matrix}}\right\}\Rightarrow a_{1}=a_{2}=a$

$A(\alpha |a_{1}\rangle +\beta |a_{2}\rangle )=\alpha a|a_{1}\rangle +\beta a|a_{2}\rangle =a(\alpha |a_{1}\rangle +\beta |b_{2}\rangle ).$

Consideremos el operador $A$ y una base de estados propios de $A$ $\{|a_{i}\rangle \}$

$A=\sum a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|.$

Este operador no es la identidad ya que está $a_{i}$ delante. Este operador actúa sobre la base del espacio igual que el operador $A$

$\left(\sum a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\right)|a_{j}\rangle =\sum a_{i}|a_{i}\rangle \underbrace {\langle a_{i}|a_{j}\rangle } _{\delta {i,j}}=a_{j}|a_{j}\rangle .$

Postulado 4: Si al medir el observable $A$ al estado $|\alpha \rangle$ obtenemos el valor propio $a$, el sistema tras la medida viene descrito por el estado

$\left|\alpha '\right\rangle ={\frac {\sum _{\forall a_{i}=a}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\alpha \rangle }{\sqrt {\sum _{\forall a_{i}=a}|\langle a_{i}|\alpha \rangle |^{2}}}}={\frac {P_{a}|\alpha \rangle }{|P_{a}|\alpha \rangle |}}.$

$|\alpha '\rangle$ es un vector unitario del subespacio con valor propio a (en dirección de la proyección de $|\alpha \rangle$) sobre ese subespacio.

Si no es degenerado

$|\alpha \rangle {\stackrel {a}{\rightarrow }}\left|\alpha '\right\rangle =\left|a\right\rangle .$

Si es degenerado

$\left|\alpha \right\rangle {\stackrel {a}{\rightarrow }}\left|\alpha '\right\rangle =\sum _{\forall a_{i}=a}{\frac {\langle a_{i}|\alpha \rangle }{\sqrt {\sum _{\forall a_{i}=a}|\langle a_{i}|\alpha \rangle |^{2}}}}|a_{i}\rangle .$

Conjunto completo de observables que Conmutan(CCOC)

• Dos operadores son compatibles si su conmutador es 0

$\left[A,B\right]\equiv A\,B-B\,A=0$

• Si dos operadores NO son compatibles no pueden ser diagonalizados simultáneamente (no existe una base con los autoestados de $A$ y los de $B$).
• Si dos matrices no conmutan $\Rightarrow$ No se pueden diagonalizar simultáneamente.
• Si dos matrices conmutan $\Rightarrow$ Existe una base $\{|a_{i}b_{i}\rangle \}$ de vectores propios de ambos operadores $A|a_{i}b_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}b_{i}\rangle$, $B|a_{i}b_{i}\rangle =b_{i}|a_{i}b_{i}\rangle .$
• Algunos de los valores propios de $A$ y $B$ pueden ser degenerados ($a_{i}=a_{j}=a$, $b_{i}=b_{j}=b$).
• Los operadores compatibles $A$ y $B$ forman un conjunto completo si en la base de autoestados de $A$ y $B$ todos los vectores propios tienen al menos un valor propio (de $A$ ó $B$) distinto. Ejemplo:

$A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\;B={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}};\;\{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|-1,0\rangle \}$

Solo con un operador no puede definirse cualquier estado, pero con los dos sí.

Se dice que un conjunto de operadores sobre el mismo espacio de Hilbert forman un CCOC si:

• Los operadores son compatibles (conmutan).
• La base ortonormal de vectores propios comunes es única excepto fases.
• El conjunto es minimal: La condición anterior falla si elimino alguno de los operadores.

Si A tuviera los mismos autovalores no sería necesario B para un CCOC.

Valor esperado y relaciones de indeterminación

Si clásicamente medimos la longitud de una barra podemos obtener

$L=\left\{{\begin{matrix}3&(1\ vez)\\4&(3\ veces)\\5&(2\ veces)\end{matrix}}\right.$

El valor que deberemos asignar a la longitud de la barra es el valor promedio

$\langle L\rangle ={\frac {3\cdot 1+4\cdot 3+2\cdot 5}{6}}=\underbrace {\frac {1}{6}} _{frec.}3+{\frac {3}{6}}\ 4+{\frac {2}{6}}\ 5\approx 4.2$

Se define el valor esperado (o medio) del operador $A$ para el estado $|\alpha \rangle$ como

$\langle A\rangle _{\alpha }\equiv \sum a_{i}|\alpha _{i}|^{2}.$

La probabilidad de obtener $a_{i}$ al medir $\alpha$ es $|\alpha _{i}|^{2}$.

Si se realiza la medida a "muchos" estados $|\alpha \rangle$, entonces $\langle A\rangle _{\alpha }$ es el valor promedio del observable (la Mecánica Cuántica es algo más que pura estadística)

${\begin{matrix}\langle A\rangle _{\alpha }&=&\langle \alpha |A|\alpha \rangle \\&=&\sum a_{i}\langle \alpha |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\alpha \rangle =\langle \alpha |(\underbrace {\sum a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|} _{A})|\alpha \rangle .\end{matrix}}$

La indeterminación en A para el estado $|\alpha \rangle$ se define como el valor esperado de la desviación respecto al valor medio

${\begin{matrix}\Delta _{\alpha }A&\equiv &{\sqrt {\langle \alpha |(A-\langle A\rangle _{\alpha })^{2}}}|\alpha \rangle \\&=&{\sqrt {\langle \alpha |A^{2}|\alpha \rangle -\langle \alpha |A|\alpha \rangle ^{2}}}\\&=&{\sqrt {\langle A^{2}\rangle _{\alpha }-(\langle A\rangle _{\alpha })^{2})}}\\&=&{\sqrt {\sum \left(a_{i}|\alpha _{i}|^{2}-\langle A\rangle _{\alpha }\right)^{2}}}.\end{matrix}}$

• Si $|\alpha \rangle =|a_{i}\rangle$ es propio de $A$ entonces $\langle A\rangle _{\alpha }=a_{i}\ \ y\ \ \Delta _{\alpha }A=0.$
• Si un vector es propio de $A$, también es propio para cualquier potencia de ese operador, en particular para $A^{2}$, con valor propio $a_{i}^{2}$ $A^{2}|a_{i}\rangle =AA|a_{i}\rangle =Aa_{i}|a_{i}\rangle =a_{i}^{2}|a_{i}\rangle .$ Para cualquier estado $|\alpha \rangle$ se verifica la relación de indeterminación

$\Delta _{\alpha }A\,\Delta _{\alpha }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle \alpha |[A,B]|\alpha \rangle \right|$

• Si A y B conmutan puede haber estados en los que ambas $\Delta _{\alpha }$ sean cero.
• Si no conmutan no es posible que alguno sea cero. Ejemplo:

$|+\rangle _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +|-\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}$

Encontrar que $\langle S_{z}\rangle _{\alpha }=\langle \alpha |S_{z}|\alpha \rangle =0.$

$\Delta _{\alpha }S_{z}={\frac {\hbar }{2}}$ $S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$