Mecánica cuántica/Operadores vectoriales y tensoriales

Operadores vectorialesEditar

Las magnitudes clásicas  ,  ,  ,   son vectores de   que bajo rotaciones transforman según una matriz de SO(3):

 

 

 

 

Cuánticamente las rotaciones actúan sobre vectores   de un espacio de Hilbert ( ), no sobre los operadores.

¿Cuál es el análogo cuántico de  ? Hará referencia al valor esperado del operador vectorial:

Bajo rotaciones:

 

 

Esta es la definición de operador vectorial (  actúa sobre   n-dim):

 

donde las   son matrices  .

Y tomando rotaciones infintesimales

 

En Mecánica Cuántica nuestra definición de operador vectorial es

 

y su valor esperado se comporta como un vector clásico.

Tenemos por tanto que un operador vectorial hace

 

Operadores tensorialesEditar

Clásicamente podemos construir magnitudes físicas que no vengan descritas por vectores de  , sino por tensores de   u otros espacios tensoriales. El espacio tensorial puede siempre descomponerse en una suma de subespacios de tipo   (clasicamente cualquier magnitud física se puede representar por un vector ("tensor") de  ).

 

 

(todo esto es clásico)

 

 

donde   son matrices   dimensionales.

En Mecánica, se define un operador tensorial irreducible de orden j como una combinación de   operadores  , con  , que bajo la acción de matriz rotación verifica:

 

Tomando rotaciones infinitesimales obtenemos

   

 

en la representación  .

Teorema de Wigner-EckartEditar

El cálculo de los elementos de matriz de un tensor irreductible entre estados con momento angular bien definido, queda simplificado por el siguiente teorema de Wigner-Eckart

 

El contenido del doble barrado vertical se denomina elemento de matriz reducido y remarca que no depende de  .

Hay mucha información aquí pero en principio no la vamos a ver, quizá en colisiones.