Mecánica cuántica/Operadores creación y aniquilación

Bosones: Se define un estado $|n\rangle$ como el de un sistema de $n$ partículas idénticas todas ellas en el mismo estado. Se define un operador $a$ tal que

$a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

a: operador de destrucción o aniquilación (transforma un estado de n partículas en uno de n-1 partículas).

$\langle n|a^{\dagger }={\sqrt {n}}\langle n-1|$

$\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle =n\langle n-1|n-1\rangle =n$

$\Rightarrow a^{\dagger }a|n\rangle =n|n\rangle$

Al operador $a^{\dagger }a\equiv N$ le llamamos operador número porque cuenta el número de partículas en el estado $|n\rangle$.

$a^{\dagger }a|n+1\rangle =(n+1)|n+1\rangle$

$a^{\dagger }{\sqrt {n+1}}|n\rangle \Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle {\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$

Por eso al operador $a^{\dagger }$ le llamamos operador creación. Es el dual del operador destrucción.\\

$\Longrightarrow \left[a,a^{\dagger }\right]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a={\mathcal {I}}$

Demostración:

$aa^{\dagger }|n\rangle =(n+1)|n\rangle$

$a^{\dagger }a|n\rangle =n|n\rangle$

$(aa^{\dagger }-a^{\dagger }a)|n\rangle =|n\rangle$

El estado $|0\rangle$ se denomina "vacío" $\langle 0|0\rangle =1$

$a|0\rangle =0$

"El vacío es lo que queda cuando quito todo lo que puedo quitar"

$|n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle$

El formalismo puede extenderse a $n$ partículas idénticas de las cuales $n_{1}$ están en el estado $|1\rangle$, $n_{2}$ en $|2\rangle$, etc.

$|n_{1},n_{2}\ldots \rangle \quad \left(\sum n_{i}=n\right)$

(se sobrenetiende que el estado está simetrizado $n_{i}$: número de ocupación).

Se definen los operadores de destrucción $a_{i}$ y creación $a_{i}^{\dagger }$ de partículas en el estado $|i\rangle$ del modo siguiente:

$a_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle ={\sqrt {n_{i}}}|n_{1}\ldots n_{i}-1\ldots \rangle$

$\Rightarrow a_{i}^{\dagger }|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle ={\sqrt {n_{i}+1}}|n_{1}\ldots n_{i}+1\ldots \rangle$

$\to$ El operador número $N_{i}=a_{i}^{\dagger }a_{i}$

$N_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle =n_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle$

$\Longrightarrow$ $[a_{i},s_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}{\mathcal {I}}$

$[a_{i},a_{j}]=0=[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]$

$(|0\rangle \equiv |00\ldots \rangle )$

$\to |n_{1}n_{2}\ldots \rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{1}!n_{2}!\ldots }}}(a_{1}^{\dagger })^{n_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{n_{2}}|0\rangle$

Si los estados $|i\rangle$ forman un continuo el formalismo define una teoria cuántica de campos.

Fermiones: Si el estado (antisimetrizado) de n partículas idénticas correspondeiente a fermiones, $|n_{1}n_{2}\ldots \rangle$, los números de ocupación deben ser igual a 0 o 1.

El operador de destrucción se define

$a_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle \equiv (-1)^{\nu _{i}}n_{i}|n_{1}\ldots 1-n_{i}\ldots \rangle$

$\nu _{i}=\sum _{k=1}^{i-1}n_{k}$

$\Rightarrow a_{1}^{\dagger }|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle =(-1)^{\nu _{1}}(1-n_{i})|n_{1}\ldots 1-n_{i}\ldots \rangle$

que cuenta bien tanto si es 0 como si es 1

$N_{i}=a_{i}^{\dagger }a_{i}$

$N_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle =n_{i}|n_{1}\ldots n_{i}\ldots \rangle .$

Se deducen

$\{a_{i},a_{j}^{\dagger }\}=\delta _{ij}{\mathcal {I}}$

donde el corchete es denominado anticonmutador y funciona como

$\{a_{i},a_{j}^{\dagger }\}=a_{i}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}$

$\{a_{i},a_{j}\}=0=\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}$

$a^{\dagger }a^{\dagger }+a^{\dagger }a^{\dagger }=0\Rightarrow a_{i}^{2}=0$

$(a^{\dagger })^{2}=0$

No podemos añadir dos fermiones en el mismo estado

$\to |n_{1}n_{2}\ldots \rangle =(a_{1}^{\dagger })^{n_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{n_{2}}\ldots |0\rangle$

Oscilador armónico

Clásicamente: Partícula de masa m sometida a una fuerza recuperadora. En una dimensión

$H_{clas}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$

$\Rightarrow$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ $\nu ={\frac {\omega }{2\pi }}$

$\omega ^{2}m=k$

Cuánticamente:

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

$[X,P]=i\hbar$

¿Qué hicimos el año pasado?

$a={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}X+i{\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}P$

$a^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}X-i{\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}P$

$[a,a^{\dagger }]=\ldots ={\mathcal {I}}\qquad ([X,P]=i\hbar )$

que son los operadores creación y aniquilación.

$|0\rangle$ vacío, $a|0\rangle =0$

$a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \quad a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

$N=a^{\dagger }a\quad N|n\rangle =n|n\rangle$

$N={\frac {m\omega }{2\hbar }}X^{2}+{\frac {i}{2\hbar }}XP-{\frac {i}{2\hbar }}PX+{\frac {1}{2m\omega \hbar }}P^{2}$

$={\frac {1}{\omega \hbar }}\overbrace {\left({\frac {1}{2m}}P^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}X^{2}\right)} ^{H}-{\frac {1}{2}}$

$H=\omega \hbar \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)$

$H|n\rangle =\omega \hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle$

donde $|n\rangle$ es el nivel energético del oscilador.

$H|0\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \omega$

¡Es distinto de 0! ¡Clásicamente no debería tener energia!