Ecuación de Schrödinger: evolución temporal

¿Cuál es la dinámica? ¿Cómo cambia mi sistema con el tiempo?

Postulado 5: La evolución temporal del vector $|\alpha (t)\rangle$ viene dada por la ecuación de Schrödinger

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\alpha (t)\rangle =H|\alpha (t)\rangle$

donde $H$ es el operador Hamiltoniano asociado a la energía del sistema (es hermítico, $H=H^{\dagger }$ ).

La ecuación de Schrödinger es determinista. Si se conoce el estado en un instante $|\alpha (t_{0})\rangle$ , el estado queda completamente determinado en cualquier instante posterior $|\alpha (t)\rangle$ (la indeterminación cuántica aparece al medir, no en la dinámica).
La ecuación de Schrödinger para los bras es

$-i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle \alpha (t)|=\langle \alpha (t)|H,$

por lo que, considerando que el operador A puede depender del tiempo,

${\frac {\partial }{\partial t}}A\neq 0,$

obtendremos una bellísima ecuación

${\begin{matrix}i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left[\langle \alpha |A|\alpha \rangle \right]\\&=&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left[\langle \alpha |\right]A|\alpha \rangle +i\hbar \langle \alpha |A{\frac {d}{dt}}\left[|\alpha \rangle \right]+i\hbar \langle \alpha |{\frac {d}{dlt}}\left[A\right]|\alpha \rangle \\&=&i\hbar \left[{\frac {-1}{i\hbar }}\langle \alpha |H\right]A|\alpha \rangle +i\hbar \langle \alpha |A\left[{\frac {1}{i\hbar }}H|\alpha \rangle \right]+i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }\\&=&-\langle \alpha |HA|\alpha \rangle +\langle \alpha |AH|\alpha \rangle +i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }\\&=&\langle \alpha |\underbrace {(A\,H-H\,A)} _{[A,H]}|\alpha \rangle +i\hbar \left\langle {\frac {dA}{dt}}\right\rangle _{\alpha }.\end{matrix}}$

En el último paso solo hemos usado la definición de suma (o resta) de operadores. Tenemos por tanto que

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle _{\alpha }+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle _{\alpha }$

Si el operador A no depende explícitamente del tiempo $A\neq A(t)$ ,

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle _{\alpha }.$

Es decir, la derivada temporal del valor esperado del operador A será, salvo constante, el conmutador $[A,H]$ . Si A conmuta con H, $[A,H]=0$ , entonces, necesariamente

$\langle A\rangle _{\alpha }={\text{cte}}$ .

Esto es formalmente idéntico a lo que ocurre en Mecánica Clásica, donde la derivada temporal de cualquier función dinámica A (los observables en dicha formulación, donde no hay valores esperados ya que su valor está siempre deterministamente concretado) viene dada por los corchetes de Poisson de A con la función Hamiltoniana

{\dot {A}}={\frac {d}{dt}}A=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\quad {\text{(en Mecánica Clásica)}}.

$i\hbar {\frac {d\rho }{dt}}=[H,\rho (t)]$
$\langle H\rangle _{\alpha }={\text{cte}}\Rightarrow \left({\frac {\partial H}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\text{Sistema conservativo}}\right)$ .

El operador evolución temporal

¿Cómo evolucionan los estados propios de $H$ ?

$H|E\rangle =E|E\rangle$

¿Cómo es la ecuación de Schödinger para un estado propio?

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|E\rangle =H|E\rangle =E|E\rangle$

$\Rightarrow |E(t)\rangle =|E(0)\rangle \underbrace {exp\left(-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})\right)} _{fase\,temporal}$

La energía se repite.
La ecuación de Schrödinguer es lineal: sus soluciones pueden componerse linealmente (si $|\alpha _{1}\rangle$ y $|\alpha _{2}\rangle$ son soluciones $\Rightarrow$ $a_{1}|\alpha _{1}\rangle +a_{2}|\alpha _{2}\rangle$ también es solución)
La evolución entre un sistema inicial y uno final $t$ se puede describir mediante un operador lineal, el operador de evolución temporal $U(t,t_{0})$ tal que

$|\alpha (t)\rangle =U(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$

$U(t,t_{0})$ tiene las siguientes propiedades:

$U(t_{0},t_{0})={\mathcal {I}}\quad {\text{(operador identidad)}}$

Podemos obtener la forma explícita del operador sustituyendo $|\alpha (t)\rangle =U(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$ en la ecuación de Schrödinguer

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{U(t,t_{0})}|\alpha (t_{0})=HU(t,t_{0})|\alpha (t_{0})\rangle$

de donde obtenemos la igualdad de operadores

${\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})={\frac {1}{i\hbar }}HU(t,t_{0})=-{\frac {i}{\hbar }}HU(t,t_{0}).$

Si $H$ no depende de $t$ (sistema conservativo), al igual que con las ecuaciones diferenciales de funciones, se tiene que

$U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}$

En general, el desarrollo en serie de Taylor de $e^{A}$ es $e^{A}={\mathcal {I}}+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ pero, en la base en la que la representación matricial del operador $A$ es diagonal

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&0\\0&a_{22}\end{pmatrix}},\quad A^{n}\equiv AA\cdots A={\begin{pmatrix}a_{11}^{n}&0\\0&a_{22}^{n}\end{pmatrix}}$

se tiene que

$e^{A}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a_{11}&0\\0&a_{22}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{\frac {a_{11}}{2!}}&0\\0&{\frac {a_{11}}{2!}}\end{pmatrix}}+\cdots ={\begin{pmatrix}e^{a_{11}}&0\\0&e^{a_{22}}\end{pmatrix}}.$

De manera más más compacta

$\left(e^{A}\right)_{ij}=e^{A_{ij}}={\begin{pmatrix}e^{a_{11}}&0\\0&e^{a_{22}}\end{pmatrix}}.$

$U^{-1}(t,t')=U(t',t)$ ya que

$U(t,t')U(t',t)|\alpha (t)\rangle =|\alpha (t)\rangle$

Ahora, veremos como a primer orden de su desarrollo de Taylor, el operador evolución temporal es unitario ( $U=U^{-1}$ )

$U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\Rightarrow U(t+dt,t)\approx {\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}Hdt$

$U^{-1}(t,t_{0})=e^{{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\Rightarrow U^{-1}(t+dt,t)\approx {\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}Hdt={\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}H^{\dagger }dt$

$UU^{-1}={\mathcal {I}}+{\mathcal {O}}\left(dt^{2}\right).$

Seguimos tras esta última nota

$U(t+dt,t)={\mathcal {I}}^{\dagger }+{\frac {i}{\hbar }}H^{-1}dt={\mathcal {I}}+{\frac {i}{\hbar }}Hdt$

$U(t+dt,t)=U^{-1}(t+dt,t)$

$\Rightarrow U^{\dagger }=U^{-1}\;(es\,unitario).$

Cualquier tranformación de simetría viene descrita por un operador unitario

$U|\alpha \rangle \rightarrow \langle \alpha |\underbrace {U\,U^{\dagger }} _{\mathcal {I}}|\alpha \rangle .$

Estados estacionarios y constantes del movimiento

Un estado conservativo es aquel que no depende del tiempo $H\neq H(t).$ En un estado conservativo los estados propios de $H$ se denominan estados estacionarios.

$H|\alpha (t_{0})\rangle =E|\alpha (t_{0})\rangle$

$|\alpha (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})}|\alpha (t_{0})\rangle$

$H|\alpha (t)\rangle =E|\alpha (t)\rangle .$

Si un observable $A$ conmuta con $H$ (se sobreentiende que nos referimos al operador hermítico asociado al observable $A$ ) y como habitualmente el observable no depende explícitamente del tiempo,

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle _{\alpha }=0\Rightarrow \langle A\rangle _{\alpha }={\text{cte}}.$

$A$ se denomina entonces una constante del movimiento.

Ejemplo

Supongamos que nuestro sistema en un tiempo t=0 se encuentra en el estado

$\mathbb {H} \ni |\alpha \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|+\rangle +i|-\rangle \right)$

y que el operador Hamiltoniano se encuentra definido por la siguiente combinación lineal de operadores proyección

$H=\hbar \omega \left(|+\rangle \langle +|-|-\rangle \langle +|\right).$

¿Cuál es $|\alpha (t)\rangle$ ?

Usando la base $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ , estos dos vectores son obviamente,

$|+\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

$|-\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Expresado en dicha base, el Hamiltoniano toma la forma matricial

${\begin{aligned}H&\doteq \hbar \omega \left[{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right]\\&=\hbar \omega \left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right]\\&=\hbar \omega {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

que es diagonal. Como vimos anteriormente, ya que $H\neq H(t)$

$U(t,0)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}$

y como demostramos, al ser la matriz que representa $H$ diagonal en dicha base, la exponencial de $H$ también es diagonal y tiene la forma

$U(t,0)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}\doteq {\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}|\alpha (t)\rangle &=U(t,0)|\alpha (t_{0})\rangle \\&\doteq {\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}&0\\0&e^{+i\omega t}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}\\ie^{+i\omega t}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Reglas de cuantización

¿Cómo construir los operadores que representan a los observables físicos?

El sistema físico más simple es una partícula escalar sometida a un potencial central.

Los observable físicos más evidentes son la posición ${\vec {r}}=(x,y,z)$ y su momento ${\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})$ .

Postulado 4: Si en un sistema físico las coordenadas son $x_{1},\ldots ,x_{n}$ y sus momentos conjugados son $p_{1},\ldots p_{n}$ , entonces los operadores $X_{i}$ y $P_{i}$ que representan a dichos observables deben satisfacer las reglas de conmutación

$[X_{i},X_{j}]=0;\qquad [P_{i},P_{j}]=0;\qquad [X_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}{\mathcal {I}}$

¿Qué forma tiene un operador arbitrario?

Si el sistema tiene un observable cuya expresión clásica es $A(x_{i},p_{i},t)$ entonces el operador correspondiente se obtiene sustituyendo de manera adecuada las variables $x_{i}$ y $p_{i}$ por los operadores $X_{i}$ y $P_{i}$ asociados.

El operador Hamiltoniano

¿Qué es el (operador) Hamiltoniano clásico? Realmente una función, la función Hamiltoniana.

Formulación Lagrangiana

Para cualquier sistema físico se puede definir una función que depende de las posiciones y de las velocidades tal que toda la física del sistema dependa de dicha función. Dicha función es la llamada función Lagrangiana y se define como $L=T-V$ .

En cada estado la lagrangiana toma un valor.

Se define la acción como la siguiente integral de línea entre $x_{1}$ y $x_{2}$

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dtL(x_{i},{\dot {x}}_{i}).$

La naturaleza elige el camino con acción más pequeña (principio de mínima acción).

$\Rightarrow$ Ecuaciones de Euler-Lagrange

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0$

Es equivalente a la formulación Newtoniana y no menos extraña.

Se define el momento conjugado a la variable $x_{i}$ como

$p_{i}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}$

Formulación de Hamilton

$H=H(x_{i},p_{i},t)={\dot {x}}_{i}p_{i}-L(x_{i},{\dot {x}}_{i},t)$

Principio de mínima acción $\Rightarrow$

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}$

Normalmente se cumple que $H=E_{T}=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})$

Cuánticamente

$H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(X_{i})$ donde $P=(P_{1},P_{2},P_{3})$ es un operador vectorial (3 operadores).

Se tiene que

$P^{2}=\sum _{i}P_{i}^{2}.$

Los paréntesis de Poisson se definen como

$\left\{A(x_{i},p_{j}),B(x_{i},p_{j})\right\}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum \left[{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial x_{i}}}\right]$

$\{x,p_{x}\}=1$

$[X,P]=i\hbar {\mathcal {I}}$

A los franceses les gusta mucho la asociación

$\{,\}\rightarrow {\frac {[\;,\;]}{i\hbar }}.$

Reglas de superselección

Supongamos que existe un observable $Q$ que conmuta con todos los observables $A_{i}$

$[Q,A_{i}]=0$

$\Rightarrow$ Si simultáneamente tengo un estado propio de $Q$ tras cualquier medida de otro observable, el estado continuará siendo propio de $Q$ con el mismo valor propio.