Mecánica cuántica/Matriz densidad y evolución temporal


Ecuación de Schrödinger: evolución temporalEditar

¿Cuál es la dinámica? ¿Cómo cambia mi sistema con el tiempo?

Postulado 5: La evolución temporal del vector   viene dada por la ecuación de Schrödinger

 

donde   es el operador Hamiltoniano asociado a la energía del sistema (es hermítico,  ).

  • La ecuación de Schrödinger es determinista. Si se conoce el estado en un instante  , el estado queda completamente determinado en cualquier instante posterior   (la indeterminación cuántica aparece al medir, no en la dinámica).
  • La ecuación de Schrödinger para los bras es

 

por lo que, considerando que el operador A puede depender del tiempo,

 

obtendremos una bellísima ecuación

 

En el último paso solo hemos usado la definición de suma (o resta) de operadores. Tenemos por tanto que

 

Si el operador A no depende explícitamente del tiempo  ,

 

Es decir, la derivada temporal del valor esperado del operador A será, salvo constante, el conmutador  . Si A conmuta con H,  , entonces, necesariamente

 .

Esto es formalmente idéntico a lo que ocurre en Mecánica Clásica, donde la derivada temporal de cualquier función dinámica A (los observables en dicha formulación, donde no hay valores esperados ya que su valor está siempre deterministamente concretado) viene dada por los corchetes de Poisson de A con la función Hamiltoniana

 


  •  
  •  .

El operador evolución temporalEditar

¿Cómo evolucionan los estados propios de  ?

 

¿Cómo es la ecuación de Schödinger para un estado propio?

 

 

  • La energía se repite.
  • La ecuación de Schrödinguer es lineal: sus soluciones pueden componerse linealmente (si   y   son soluciones     también es solución)
  • La evolución entre un sistema inicial y uno final   se puede describir mediante un operador lineal, el operador de evolución temporal   tal que

 

  tiene las siguientes propiedades:

  •  

Podemos obtener la forma explícita del operador sustituyendo   en la ecuación de Schrödinguer

 

de donde obtenemos la igualdad de operadores

 

Si   no depende de   (sistema conservativo), al igual que con las ecuaciones diferenciales de funciones, se tiene que

  •  

En general, el desarrollo en serie de Taylor de   es   pero, en la base en la que la representación matricial del operador   es diagonal

 

se tiene que

 

De manera más más compacta

 

  •   ya que

 

Ahora, veremos como a primer orden de su desarrollo de Taylor, el operador evolución temporal es unitario ( )

 

 

 

Seguimos tras esta última nota

 

 

 

  • Cualquier tranformación de simetría viene descrita por un operador unitario

 

Estados estacionarios y constantes del movimientoEditar

Un estado conservativo es aquel que no depende del tiempo   En un estado conservativo los estados propios de   se denominan estados estacionarios.

 

 

 

Si un observable   conmuta con   (se sobreentiende que nos referimos al operador hermítico asociado al observable  ) y como habitualmente el observable no depende explícitamente del tiempo,

 

  se denomina entonces una constante del movimiento.

EjemploEditar

Supongamos que nuestro sistema en un tiempo t=0 se encuentra en el estado

 

y que el operador Hamiltoniano se encuentra definido por la siguiente combinación lineal de operadores proyección

 

¿Cuál es  ?

Usando la base  , estos dos vectores son obviamente,

 

 

Expresado en dicha base, el Hamiltoniano toma la forma matricial

 

que es diagonal. Como vimos anteriormente, ya que  

 

y como demostramos, al ser la matriz que representa   diagonal en dicha base, la exponencial de   también es diagonal y tiene la forma

 

 

Reglas de cuantizaciónEditar

¿Cómo construir los operadores que representan a los observables físicos?

El sistema físico más simple es una partícula escalar sometida a un potencial central.

Los observable físicos más evidentes son la posición   y su momento  .

Postulado 4: Si en un sistema físico las coordenadas son   y sus momentos conjugados son  , entonces los operadores   y   que representan a dichos observables deben satisfacer las reglas de conmutación

 

¿Qué forma tiene un operador arbitrario?

Si el sistema tiene un observable cuya expresión clásica es   entonces el operador correspondiente se obtiene sustituyendo de manera adecuada las variables   y   por los operadores   y   asociados.

El operador HamiltonianoEditar

¿Qué es el (operador) Hamiltoniano clásico? Realmente una función, la función Hamiltoniana.

Formulación LagrangianaEditar

Para cualquier sistema físico se puede definir una función que depende de las posiciones y de las velocidades tal que toda la física del sistema dependa de dicha función. Dicha función es la llamada función Lagrangiana y se define como  .

En cada estado la lagrangiana toma un valor.

Se define la acción como la siguiente integral de línea entre   y  

 

La naturaleza elige el camino con acción más pequeña (principio de mínima acción).

  Ecuaciones de Euler-Lagrange

 

Es equivalente a la formulación Newtoniana y no menos extraña.

Se define el momento conjugado a la variable   como

 

Formulación de HamiltonEditar

 

Principio de mínima acción  

 

 

Normalmente se cumple que  

CuánticamenteEditar

  donde   es un operador vectorial (3 operadores).

Se tiene que

 

Los paréntesis de Poisson se definen como

 

 

 

A los franceses les gusta mucho la asociación

 

Reglas de superselecciónEditar

Supongamos que existe un observable   que conmuta con todos los observables  

 

  Si simultáneamente tengo un estado propio de   tras cualquier medida de otro observable, el estado continuará siendo propio de   con el mismo valor propio.

Demostración (suponiendo que no son degenerados)

 

 

se mide  ,

 

con probabilidad  

 

en la base de autoestados de  ,   es diagonal y   también

 

Se dice que   es un operador de super-selección, y los estados "físicos" tendrán siempre un valor de   bien definido.

Es algo que no me permite mezcla cuántica, combinación lineal, con vectores con distintos valores de q. (Viven en espacios de Hilbert distintos (?)).

Imagen de HeisenbergEditar

Lo que hemos visto hasta ahora se llama imagen de Schrödinger.

 

(Uno construye una metodología distinta pero de forma que los autovalores evolucionen de la misma forma (?)).