Mecánica cuántica/La matriz densidad

La matriz densidad Editar

La matriz densidad se utiliza para caracterizar a un conjunto de estados.

  • Conjunto puro: Todos los estados vienen descritos por el mismo vector  .
  • Conjunto mezcla: Tengo   estados   descritos por  

  donde hemos introducido  

 

como la frecuencia del conjunto (que no estado) caracterizado por  .

El valor medio de un observable   medido sobre el conjunto se puede escribir (esta vez sí es un estadístico) en términos de la matriz densidad:

 

La matriz densidad caracteriza completamente a la colectividad

 

  •   es la frecuencia del estado  .
  • Tras medir el observable   todos los estados del sistema habrán pasado a ser un vector propio de  . ¿Cuál es la probabilidad de obtener   al medir   a solamente un objeto de la colectividad?

 

El paso de la última línea se ha podido llevar a cabo ya que

 

  • Si el proyector es no degenerado.    
  • Si el proyector es degenerado.    

Tras medir el observable   a algún estado  , si se ha obtenido el valor propio  , el estado pasa a ser

 

Si es no degenerado

 

  • Si medimos   a todos los elementos de la colectividad y seleccionamos aquellos con valor propio  , la matriz densidad de ese conjunto es

 

¿Cuál es la probabilidad de al obtener un estado ...?

  • Probabilidad de obtener  :  .
  • Si he tomado   el estado pasará a ser

 

con probabilidad  

 

 

 

Postulado 4 (según Galindo Pascual): Si al medir   a una colectividad   se encuentra el valor propio  , la proyección de la colectividad sobre el subespacio de valor propio   viene descrito por

 

  • Si mezclo la colectividad   con la colectividad  , la matriz densidad resultante es  

donde  

Para una colectividad genérica:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •       no es un proyector.

Si tenemos una colectividad pura

  •   es un proyector
  •  .
  •  .
  • Sus autovalores son cero o uno.
  •   puede ser mayor que la dimensión de  .