Mecánica cuántica/Isoespín

Hemos visto rotaciones, tanslaciones, paridad y $\Theta$ que son transformaciones de simetría espacio-temporales. Hay otras simetrías de naturaleza distinta: las simetrías internas. Nosotros vamos a estudiar el caso particular del isospin.

Ejemplo: Consideremos el protón (cargado positivamente) y el neutrón (con carga neutra). Cuando hay interacción fuerte el electromagnetismo es apenas importante y el neutrón y el protón se atraen con la misma fuerza que un proton y un protón. Se parecen tanto protón y neutrón que podemos pensar que el protón $|p\rangle$ y el neutrón $|n\rangle$ son dos estados disitintos de un mismo sistema cuántico, del mismo modo que $|+\rangle$ y $|-\rangle$ son los dos estados de spin $s={\frac {1}{2}}$ de una partícula.

$\underbrace {\mathbb {H} ^{t=1/2}\ \{|p\rangle =|1/2\ 1/2\rangle ,|n\rangle =|1/2\ -1/2\rangle \}} _{isospin}\underbrace {\mathbb {H} ^{s=1/2}\ \{|+\rangle ,|-\rangle \}} _{spin}$

Esta hipótesis tiene conslusiones:

• Las rotaciones (matrices de $SU(2)_{Rot}$) mezclan o cambian $|+\rangle ,|-\rangle$. $R_{y}(\Pi )|+\rangle =|-\rangle$. Las rotaciones son una simetría del sistema (H).

Quizá (hipótesis) H tiene otra simetría $SU(2)_{T}$ (la T es de isospin) que intercambia $|p\rangle$ y $|n\rangle$.

Las interacciones fuertes tienen esa simetría de isospin.

Las partículas que tienen spin "son" vectores de $\mathbb {H} ^{s=0,{\frac {1}{2}},1,\ldots }$. Si tienen isospin "serán" vectores de $\mathbb {H} ^{t=0,{\frac {1}{2}},1,\ldots }$.

Total, que uno puede ver estructuras en todas las partículas hadrones (con color o interacción fuerte).

Los hadrones aparecen en multipletes de isospin.

$SU(2)\to \mathbb {H} ^{t}$

$\mathbb {H} ^{1/2}\ \{\left|p\right\rangle ,\left|n\right\rangle \}$

$\mathbb {H} ^{\pi ^{+}}\ \{\left|\pi ^{0}\right\rangle ,\left|\pi ^{-}\right\rangle \}$

En reacciones medidas por interacciones fuertes el isospin se conserva (del mismo modo que el momento angular se conserva si H(V) tiene simetría esférica). La frecuencia de algunas reacciones fuertes viene determinada por los coeficientes C-G.

${\text{''frecuencia de un proceso'' }}\rightarrow {\text{ sección eficaz}}$

$\rho (i\to f)\propto \left|A(i\to f)\right|^{2}$

El módulo anterior es la amplitud de scattering.

$A(i\to f)\propto \langle f|H|i\rangle$

$|i\rangle =|i^{orb}\rangle \otimes |i^{spin}\rangle \otimes |i^{isospin}\rangle \otimes \ldots$

Si H respeta la simetría $SU(2)_{T}$, el isospin se conserva.

$\Rightarrow \langle f|H|i\rangle \propto \langle f^{isospin}|i^{isospin}\rangle$

Un ejemplo:

Se observa $p\ +\ d\rightarrow \pi ^{+}+^{3}H$

$\mathbb {H} ^{t=1}:\left\{{\begin{matrix}{l}\left|\pi ^{+}\right\rangle =-|1\ {+1}\rangle \\\left|\pi ^{0}\right\rangle =|1\ 0\rangle \\|\pi ^{-}\rangle =|1\ {-1}\rangle \end{matrix}}\right\}$

$\mathbb {H} ^{t=0}:\left\{|d\rangle =|00\rangle \right\}$

$\ldots$

$|1/2\;+1/2\rangle |0\;0\rangle \ -|1\;+1\rangle |1/2\;-1/2\rangle =\left\{(C-G)\right\}=-\left({\sqrt {\frac {1}{3}}}|3/2\ +1/2\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1/2\;+1/2\rangle \right)$

$\rho (p+d\to \pi ^{+}+^{3}H)\propto |\langle 1/2\ +1/2|=1/2\ +1/2=\rangle =|-{\sqrt {{\frac {2}{3}}\cdot 1}}^{2}={\frac {2}{3}}$

$p+d\to \pi ^{0}+^{3}He$

${\text{isos: }}\quad |1/2+1/2\rangle |00\rangle =|1/2+1/2\rangle \quad |10\rangle |1/2+1/2\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}|3/2+1/2\rangle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}|1/2+1/2\rangle$

para

$\rho (p+d\to \pi ^{0}+^{3}He)\propto |1/2+1/2|\ldots \rangle |^{2}$

Ahora sale algo que parece tener simetría

${\frac {\rho (p+d\to \pi ^{+}+^{3}H)}{\rho (p+d\to \pi ^{0}+^{3}He)}}={\frac {2/3}{1/3}}=2$

Si solo hubiera interacciones fuertes, protón y neutrón es como si fueran dos estados distintos de una misma partícula. Es una propiedad interna, ya que al contrario que con el spin, no funciona girar la partícula.