Mecánica cuántica/Introducción

Simetrías en Mecánica ClásicaEditar

En Mecánica Clásica toda la información del sistema está en la Lagrangiana o en la Hamiltoniana

 

 

 

 

Si   no depende de  :   tenemos simetría bajo traslaciones  

Si   no depende del tiempo:   tenemos simetría bajo traslación temporal

 

Ambas cosas hacen que las leyes de la física sean las mismas hoy y mañana y en cualquier parte.

Si   es invariante bajo rotaciones  

 

Existe una relación entre simetrías y leyes de conservación. Hacer física es ver esas relaciones. Por ejemplo, puede haber un proceso muy complicado pero donde el momento angular se conserva, entonces podremos decir mucho sobre el comportamiento de ese sistema.

Simetrías en Mecánica CuánticaEditar

En Mecánica Cuántica las simetrías se asociarán a transformaciones untarias de kets:

 

Donde  ,   y   son operadores unitarios,   es el operador momento y   es el parámetro de la translación. Al ser las transformaciones unitarias conservan el producto interno

 

Son transformaciones continuas (  son variables continuas) por lo que podemos definir las transformaciones infinitesimales

 

 

En el primer caso   es el generador de la traslación en la dirección   y en el segundo   lo es de la translación temporal.

Si   es una simetría   geometría   es hermítica.

 

 

Las simetrías son operadores sobre el espacio de Hilbert.

 

Son continuas (parámetro contínuo): Dada S(x),

 

 

Simetría:   y   tienen la misma energía  

 


 

 

 

 

 

 

Si el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones entonces J va a ser una constante del movimiento. Las otras dos igual. Es el análogo cuántico a las leyes de conservación.

 

  • El generador de una simetría es una constante del movimiento.
  • En general, se dice que cualquier operador unitario es una transformación de simetría  , aunque no conmute con el hamiltoniano (y su generador no sea una constante del movimiento).
  • Las transformaciones unitarias hacen:

 

Esta condición puede relajarse a

 

  • El teorema de Wigner afirma que los operadores que satisfacen esta última condición son los unitarios

 ,

 

y los antiunitarios  ,

 

 

Y son antilineales

 

 

  • Supongamos un   invariante bajo rotaciones

 

 

Podemos encontrar una base de estados propios de   y de   y  

 

y tengo un estado propio de  . El estado

 

donde N es la norma del numerador, es un estado físico que tiene la misma energía que el estado

 

Es muy fácil de demostrar ya que  

   

Dicha energía da para muchos estados distintos (nivel de energía degenerado).

 

Hay una correspondencia entre simetría y degeneración de niveles de energía.