Mecánica cuántica/Funciones de onda

Hasta ahora hemos estudiado observables con espectro discreto (por ejemplo, de $S_{z}$)

Ahora estudiaremos espectros discretos, por lo que vamos a necesitar espacios de Hilbert de dimensión infinita.

$\to$ Los resultados obtenidos para $\mathbb {H}$ de dimensión finita son fácilmente generalizables a este otro caso.

$\{|a\rangle \}\,{\text{base ortonormal}}$

$A|a\rangle =a|a\rangle$

$a$ toma valores de un conjunto discreto.

$\langle a|a'\rangle =\delta _{aa'}$

Frente a espectro continuo

$\{|x\rangle \}\ {\text{base ortonormal}}$

$X|x\rangle =x|x\rangle$

donde $x$ toma un conjunto continuo de valores.

Ahora usamos la delta de Dirac en lugar de la delta de Kronecker.

${\text{Delta de Kronecker }}:\quad \delta _{aa'}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\left\{{\begin{matrix}1&si&a=a'\\0&si&a\neq a'\end{matrix}}\right.$

${\text{Delta de Dirac }}:\quad \delta (x-x'){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\left\{{\begin{matrix}\infty &si&x=x'\\0&si&x\neq x'\end{matrix}}\right.$

$\delta (x)$ no es una función, es una distribución (asigna un número complejo a cada función)

$\int _{-\infty }^{\infty }dx\delta (x)f(x)=f(0)$

$\int _{-\infty }^{\infty }dx\delta (x-x_{0})f(x)=f(x_{0})$

${\text{Si }}f(x)=1,\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }dxf(x)\delta (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,1\,\delta (x)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dx\delta (x)=1$

Puede obtenerse como el límite de una función.

$\delta (x)=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-L}^{L}dk\,e^{ikx}$

La ortonormalidad en el espacio de Hilbert de dimensión infinita se expresa en términos de esta distribución.

En un espacio de dimensión finita, si $\{|a\rangle \}$ es una base, obtenemos la relación de clausura

$\sum _{a}|a\rangle \langle a|={\mathcal {I}}.$

Y se tiene que

$|\alpha \rangle ={\mathcal {I}}|\alpha \rangle =\left(\sum _{a}|a\rangle \langle a|\right)|\alpha \rangle =\sum _{a}|a\rangle \left(\langle a|\alpha \rangle \right)=\sum _{a}|a\rangle \alpha _{a}.$

Usando el resultado anterior tenemos que

$\langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha |\left(\sum _{a}|a\rangle \langle a|\alpha \rangle \right)=\sum _{a}\langle \alpha |a\rangle \langle a|\alpha \rangle =\sum _{a}|\alpha _{a}|^{2}$

$p_{a}=||P_{a}|\alpha \rangle ||^{2}=||\left(|a\rangle \langle a|\alpha \rangle \right)||^{2}=||(|a\rangle )||^{2}\cdot |\langle a|\alpha \rangle |^{2}=|\langle a|\alpha \rangle |^{2}.$

En contraste, cuando el espacio de Hilbert tiene dimensión infinta,

$\{|x\rangle \}\ {\text{ base ortonormal}},$

$\int dx|x\rangle \langle x|={\mathcal {I}}$

$|\alpha \rangle ={\mathcal {I}}|\alpha \rangle \int _{-\infty }^{\infty }dx|x\rangle \underbrace {\langle x|\alpha \rangle } _{\equiv \alpha (x)}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,|x\rangle \,\alpha (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\alpha (x)\,|x\rangle$

A $\alpha (x)$ es mejor llamarlo función de onda porque no es un vector, pues se define mediante un producto escalar: Es una función de la variable continua x. Es por ello que puede pasar a la izquierda o a la derecha de un vector sin problemas, como ocurre también con los escalares.

${\begin{aligned}\langle \alpha |\alpha \rangle &=\langle \alpha |\int _{-\infty }^{\infty }dx|x\rangle \langle x|\alpha \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\langle \alpha |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\alpha ^{*}(x)\alpha (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx|\alpha (x)|^{2}\end{aligned}}$

• Probabilidad de medir $X$ y obtener un valor $x$ entre $x_{1}$ y $x_{2}$ (no tiene sentido establecer la posibilidad de que esté en un punto)

$P_{x_{1},x_{2}}=\int _{x1}^{x_{2}}dx|x\rangle \langle x|$

(Es como un proyector)

Demostrad vosotros que

$P_{x_{1},x_{2}}=\int _{x1}^{x_{2}}dx|\alpha (x)|^{2}$

"braket"

$\langle \alpha |\beta \rangle =\sum _{a}\langle \alpha |a\rangle \langle a|\beta \rangle =\sum _{a}\alpha _{a}^{*}\beta _{b}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\alpha _{2}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}$

$\langle \alpha |\beta \rangle =\int dx\,\langle \alpha |x\rangle \langle x|\beta \rangle =\int \,dx\alpha ^{*}(x)\beta (x):$

$\rightarrow$ Solapamiento de las dos funciones de onda

$|\alpha \rangle$ y $\beta \rangle$ son ortogonales si sus funciones de onda no se solapan.

Aún nos queda por generalizar el bocadillo (la matriz o braket). En el caso discreto:

$\{|a\rangle \}$

$A|a\rangle =a|a\rangle$

${\begin{aligned}\langle \alpha |A|\beta \rangle &=\langle \alpha |A|\left(\sum _{a}|a\rangle \langle a|\right)\beta \rangle \\&=\sum _{a}\langle \alpha |\underbrace {A|a\rangle } _{a|a\rangle }\underbrace {\langle a|\beta \rangle } _{\beta _{a}}\\&=\sum _{a}a\alpha _{a}^{*}\beta _{a}\\\langle \alpha |A|\beta \rangle &={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\alpha _{2}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&\\&&\ddots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

En el caso continuo:

$\{|x\rangle \}$

$X|x\rangle =x|x\rangle$

${\begin{aligned}\langle \alpha |X|\beta \rangle &=\langle \alpha |X|\left(\int _{-\infty }^{\infty }dx\,|x\rangle \langle x|\right)|\beta \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\langle \alpha |X|x\rangle \langle x|\beta \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x\langle \alpha |x\rangle x\beta (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x\alpha ^{*}(x)\beta (x)\end{aligned}}$

Con el mismo procedimiento se puede obtener el resultado para un operador $F(X)$, definido a través del operador $X$, si se tiene en cuenta que $F(X)|x\rangle =F(x)|x\rangle$.

${\begin{aligned}\langle \alpha |F(X)|\beta \rangle &=\langle \alpha |F(X)\left(\int _{-\infty }^{\infty }dx\,|x\rangle \langle x|\right)|\beta \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\langle \alpha |F(X)|x\rangle \langle x|\beta \rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,F(x)\langle \alpha |x\rangle \beta (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,F(x)\alpha ^{*}(x)\beta (x)\end{aligned}}$