Mecánica cuántica/Formulación de Feynman: Integral de caminos

Experimento de la doble rendija de Young.

Se ha hecho con electrones, neutrones, luz... Con gatos aún no, pero ya hay planes de hacerlo con bacterias, y muchos esperan que falle, ya que a esas dimensiones se esperaría que la cuántica se comportara como la clásica.

Enviamos muchos electrones en las mismas condiciones. En la pantalla registramos dónde hace "click" el electrón.

Se tapa la rendija inferior.

Todos los electrones deberían dar en el mismo sitio pero el agujero es finito, no salen todos del mismo punto. $\Rightarrow$ Una gaussiana.

Principio de mínima acción. Puedo definirme la Lagrangiana y calcular la acción

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dtL(x,{\dot {x}})$

El principio dice que el camino que sigue el electrón es aquel que hace mínimo la acción del electrón sobre los distintos caminos.

${\frac {\delta S}{\delta c}}=0\Rightarrow {\text{Euler-Lagrange}}$

¿Qué se obtiene? Algo muy parecido, salvo difracción (como la luz).

Clásicamente podría interpretarse como que los bordes del agujero podrían haber desviado al electrón $\Rightarrow$ No es demasiado molesto para la mentalidad clásica.

Se tapa la rendija superior

Se observa lo mismo en la posición esperada.

Las dos rendijas abiertas

Lo lógico es esperar es la superposición de ambas distribuciones (la superposición es el principio básico de la física).

¿Qué se observa experimentalmente?

Algo que se parece mucho a una figura de interfencia (como la luz).

Ahora podemos interpretarlo diciendo que el electrón no es realmente una partícula sino una onda de probabilidad.

¡2 focos de ondas de probabilidad!

Ahora nos hacemos una pregunta que NO es física por que no podemos comprobarlo (la física lo impide (!)). ¿Por qué rendija ha pasado el electrón?

Afirmaciones aceptables:

• No es una cuestión física: solo interesa dónde el electrón dará el castañazo.
• La respuesta no puede ser por una o por la otra. Si fuera así la figura debería ser la superposición de ambas. Más bien por una Y por otra.}

El electrón es como si pasase por las dos rendijas.

En esto se inspiró Feynman para crear su formulación

Postulado de Feynman (para este caso concreto, no el general): El sistema cuántico va desde la posición 1 a 2 a través de todos los caminos posibles, no solo aquel que minimiza la acción.

Todos los caminos contribuyen a la amplitud cuántica con igual peso pero con fases complejas $e^{i{\frac {S_{cl}}{\hbar }}}$ distintas, donde $S_{cl}$ es la acción clásica.

$\langle x_{2}t_{2}|x_{1}t_{1}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{\forall {\text{path}}}e^{i{\frac {S_{cl}}{\hbar }}}\bullet$

¿Por qué esperaba Feynman que esto diera el resultado correcto?

Supongamos que existe una trayectoria clásica entre $(x_{1}t_{1})$ y $(x_{2}t_{2})$

La acción varía poco en las trayectorias próximas. Cuando sumo las cercanas a la clásica contribuyen constructivamente (tienen la "misma fase compleja").

Si me alejo mucho (en términos de $\hbar$) la contribución de trayectorias tiende a cancelarse, por lo que predominan los cercanos.

• No hay ninguna trayectoria clásica entre $(x_{1}t_{1})$ $(x_{2}t_{2})$.

La suma de todas las fases tiende a cancelarse $\Rightarrow$ Esa probabilidad es pequeña.

"Si te tomas este principio de manera literal entiendes muy bien lo que está pasando".

Cualquier trayectoria (camino virtual) ha contribuido. Ni siquiera la trayectoria clásica es real. $\to$ Partículas "ghost".

$\langle x_{2}t_{2}|x_{1}t_{1}\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\mathcal {D}}[x(t)]e^{i\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {L_{cl}(x,{\dot {x}})}{\hbar }}}$

Ahora queremos ver que de lo que hemos visto hasta antes de este apartado ¡se deduce la teoría de Feynman! Ver pág 116-121 del Sakurai.

$\langle x_{n}t_{N}|x_{1}t_{1}\rangle =\int dx_{N-1}\int dx{N-2}\ldots \int dx_{2}\langle x_{N}t_{N}|x_{N-1}t_{N-1}\rangle \langle x_{N-1}t_{N-1}|x_{N-2}t_{N-2}\rangle \ldots \langle x_{2}t_{2}|x_{1}t_{1}\rangle$

Yo podría calcular la probablidad de ir a cualquier punto.

${\mathcal {D}}[\ldots ]\ldots =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\equiv lim_{N\to \infty }K\int dx_{N-1}\int dx_{N-2}\ldots$