Mecánica cuántica/El espacio de Hilbert

Estados: Bras y KetsEditar

Postulado 1: En Mecánica Cuántica un estado físico   en un instante de tiempo   viene descrito por un vector unitario de un espacio de Hilbert complejo. Dicho vector se denomina vector estado o ket, y se denota   o  .

Espacios de HilbertEditar

Si   y   son vectores de un espacio de Hilbert   y   y   números complejos se cumple que

  •  
  •   (vector nulo)

Definición: Un vector unitario es aquel de módulo 1.

Base ortonormalEditar

Definición 1 de base ortonormal (a partir del producto escalar de dos vectores):\\

Se define el producto escalar de   por  , ( ), como un número complejo con las siguientes propiedades:

  • Linealidad:  
  • No conmutativo:  

Una base ortonormal es un conjunto de vectores   que son unitarios, ortogonales y forman una base del espacio:

  • Unitarios y ortogonales:  
  • Forman base: cualquier   se puede desarrollar de manera única como combinación lineal de los vectores del conjunto:  

Nota: Se ha eliminado el símbolo de sumatoria en la última igualdad por convención. En adelante se seguirá este mismo criterio: no indicar sumatoria cuando haya factores con un mismo subíndice repetido.

Lo que podemos expresar de la forma

 

y como el desarrollo es único podemos identificar unívocamente a   de la forma

 

donde hemos usado el símbolo   para resaltar el hecho de que dicha representación es relativa a una base   particular.

Por la linealidad del producto escalar se obtiene que

 

donde se observa que la   "rompe" la  . Podemos observar también que con lo visto hasta ahora

 

Definición 2 de base ortonormal (basado en bras y kets):\\

Un formalismo equivalente, usual en MC y en particular usado por el Sakurai, es el basado en bras y kets.\\

Dado un espacio de Hilbert   donde ``viven" los vectores kets,  , se define   como el espacio dual de  , donde viven los vectores bras,  . Un bra o forma de   es una aplicación lineal que asigna un número complejo a cada vector de  .

 

donde se dice que   actúa sobre  .

  • Puede demostrarse que los espacios   y   son isomorfos, es decir, puede establecerse una relación cruzada uno a uno entre todos los vectores de cada espacio  
  • Un producto escalar en   describe un espacio dual   y viceversa: un espacio   y un espacio dual   definen un producto escalar.
  • Dado un producto escalar en  , se define la forma   como aquella cuya acción sobre el vector   coincide con el producto escalar de   por  .

 

  • Dada  , base ortonormal de   y   base ortonormal de     y de igual forma con   en la base     Si   se cumple que   debido a la linealidad de las formas bra.

Además

 

 

 

Los   realmente coinciden con los conjugados de los  

 

 

Se define el módulo de   como