Mecánica cuántica/El espacio de Hilbert

Estados: Bras y Kets

Postulado 1: En Mecánica Cuántica un estado físico $\alpha$ en un instante de tiempo $t$ viene descrito por un vector unitario de un espacio de Hilbert complejo. Dicho vector se denomina vector estado o ket, y se denota $\left|\alpha \right\rangle$ o $\left|\alpha (t)\right\rangle$.

Espacios de Hilbert

Si $\left|\alpha \right\rangle$ y $\left|\beta \right\rangle$ son vectores de un espacio de Hilbert $\mathbb {H}$ y $a$ y $b$ números complejos se cumple que

• $\left|\gamma \right\rangle =a\left|\alpha \right\rangle +b\left|\beta \right\rangle \in \mathbb {H}$
• $0\left|\alpha \right\rangle =0$ (vector nulo)

Definición: Un vector unitario es aquel de módulo 1.

Base ortonormal

Definición 1 de base ortonormal (a partir del producto escalar de dos vectores):\\

Se define el producto escalar de $\left|\alpha \right\rangle$ por $\left|\beta \right\rangle$, ($\left\langle \alpha \right|\left.\beta \right\rangle$), como un número complejo con las siguientes propiedades:

• Linealidad: $\left\langle \alpha \right|\left(b_{1}\left|\beta _{1}\right\rangle +b_{2}\left|\beta _{2}\right\rangle \right)=b_{1}\left\langle \alpha \right|\left.\beta _{1}\right\rangle +b_{2}\left\langle \alpha \right|\left.\beta _{2}\right\rangle$
• No conmutativo: $\left\langle \beta \right|\left.\alpha \right\rangle =\left\langle \alpha \right|\left.\beta \right\rangle ^{*}\neq \left\langle \alpha \right|\left.\beta \right\rangle$

Una base ortonormal es un conjunto de vectores $\{\left|e_{i}\right\rangle \}$ que son unitarios, ortogonales y forman una base del espacio:

• Unitarios y ortogonales: $\left\langle e_{i}\right|\left.e_{j}\right\rangle =\delta _{i,j}$
• Forman base: cualquier $\left|\alpha \right\rangle \in \mathbb {H}$ se puede desarrollar de manera única como combinación lineal de los vectores del conjunto: $\left|\alpha \right\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\left|e_{i}\right\rangle \equiv \alpha _{i}\left|e_{i}\right\rangle$

Nota: Se ha eliminado el símbolo de sumatoria en la última igualdad por convención. En adelante se seguirá este mismo criterio: no indicar sumatoria cuando haya factores con un mismo subíndice repetido.

Lo que podemos expresar de la forma

$\left|\alpha \right\rangle ={\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &|e_{2}\rangle &\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}$

y como el desarrollo es único podemos identificar unívocamente a $|\alpha \rangle$ de la forma

$|\alpha \rangle \doteq {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}$

donde hemos usado el símbolo $\doteq$ para resaltar el hecho de que dicha representación es relativa a una base $\{|e_{i}\rangle \}$ particular.

Por la linealidad del producto escalar se obtiene que

${\begin{matrix}\left\langle e_{i}\right|\left.\alpha \right\rangle &=&\left\langle e_{i}\right|(\left|e_{j}\right\rangle \alpha _{j})\;\rightarrow Recuerda\,la\,nota.\\&=&\left\langle e_{i}\right|\left.e_{j}\right\rangle \alpha _{j}=\delta _{i,j}\alpha _{j}=\alpha _{i}\\&=&proy_{|e_{i}\rangle }\left|\alpha \right\rangle .\end{matrix}}$

donde se observa que la $\delta _{i,j}$ "rompe" la $\sum _{j}$. Podemos observar también que con lo visto hasta ahora

$\left|\alpha \right\rangle =\left|e_{i}\right\rangle \left\langle e_{i}\right|{\alpha }=\left|e_{i}\right\rangle proy_{\left|e_{i}\right\rangle }\left|\alpha \right\rangle$

Definición 2 de base ortonormal (basado en bras y kets):\\

Un formalismo equivalente, usual en MC y en particular usado por el Sakurai, es el basado en bras y kets.\\

Dado un espacio de Hilbert $\mathbb {H}$ donde ``viven" los vectores kets, $\left|\alpha \right\rangle \in \mathbb {H}$, se define $\mathbb {H} ^{*}$ como el espacio dual de $\mathbb {H}$, donde viven los vectores bras, $\langle \beta |\in \mathbb {H} ^{*}$. Un bra o forma de $\mathbb {H} ^{*}$ es una aplicación lineal que asigna un número complejo a cada vector de $\mathbb {H}$.

${\begin{matrix}\mathbb {H} ^{*}\ni \langle \beta |\,:&&\\\mathbb {H} &\rightarrow &\mathbb {C} \\|\alpha \rangle &\mapsto &\langle \beta |\alpha \rangle \end{matrix}}$

donde se dice que $\langle \beta |$ actúa sobre $|\alpha \rangle$.

• Puede demostrarse que los espacios $\mathbb {H}$ y $\mathbb {H} ^{*}$ son isomorfos, es decir, puede establecerse una relación cruzada uno a uno entre todos los vectores de cada espacio $\mathbb {H} \ni |\alpha \rangle \leftrightarrow \langle \alpha |\in \mathbb {H} ^{*}.$
• Un producto escalar en $\mathbb {H}$ describe un espacio dual $\mathbb {H} ^{*}$ y viceversa: un espacio $\mathbb {H}$ y un espacio dual $\mathbb {H} ^{*}$ definen un producto escalar.

• Dado un producto escalar en $\mathbb {H}$, se define la forma $\langle \alpha |$ como aquella cuya acción sobre el vector $|\beta \rangle$ coincide con el producto escalar de $|\alpha \rangle$ por $|\beta \rangle$.

$\langle \alpha |\left(|\beta \rangle \right)=\langle \alpha |\beta \rangle \in \mathbb {H}$

• Dada $\{|e_{i}\rangle \}$, base ortonormal de $\mathbb {H}$ y $\{\langle e_{i}|\}$ base ortonormal de $\mathbb {H} ^{*}$ $\Rightarrow |\alpha \rangle =|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\alpha \rangle =|e_{i}\rangle \alpha _{i}={\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \end{pmatrix}}$ y de igual forma con $\langle \alpha |\in \mathbb {H} ^{*}$ en la base ${\langle e_{i}|}$ $\langle \alpha |={\tilde {\alpha }}_{i}\langle e_{i}|.$ Si $\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{i,j}$ se cumple que $\langle \alpha |e_{i}\rangle ={\tilde {\alpha }}_{j}\langle e_{j}|e_{i}\rangle ={\tilde {\alpha }}_{j}\delta _{i,j}={\tilde {\alpha }}_{i}$ debido a la linealidad de las formas bra.

Además

$\langle \alpha |e_{i}\rangle =\langle e_{i}|\alpha \rangle ^{*}=\alpha _{i}^{*}$

$\langle \alpha |=\alpha _{i}^{*}\langle e_{i}|={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\\\vdots \end{pmatrix}}\Rightarrow \langle \alpha |\doteq {\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}$

$|\alpha \rangle =|e_{i}\rangle \alpha _{i}={\begin{pmatrix}|e_{1}\rangle &\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \end{pmatrix}}\Rightarrow |\alpha \rangle \doteq {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \end{pmatrix}}.$

Los $\alpha _{i}^{*}$ realmente coinciden con los conjugados de los $\alpha _{i}$

$\langle \alpha |\beta \rangle =\alpha _{i}^{*}\langle e_{i}|e_{j}\rangle \beta _{j}=\alpha _{i}^{*}\delta _{i,j}\beta _{j}=\alpha _{i}^{*}\beta _{i}=\sum \ldots$

$\langle \alpha |\beta \rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\alpha _{2}^{*}&\dots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}=\alpha _{1}^{*}\beta _{1}+\ldots .$

Se define el módulo de $|\alpha \rangle$ como

${\begin{matrix}\left||\alpha \rangle \right|&=&{\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}\\&=&{\sqrt {{\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{*}&\alpha _{2}^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{pmatrix}}}}\\&=&{\sqrt {\alpha _{i}^{*}\alpha _{i}}}\end{matrix}}$