Mecánica cuántica/Densidad y corriente de probabilidad

Se define la densidad de probabilidad $\rho ({\vec {x}},t)$ asociada a $|\Psi \rangle$ como

$\rho ({\vec {x}},t)=\langle \Psi (t)|{\vec {x}}\rangle \langle {\vec {x}}|\Psi (t)\rangle =|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}$

$P_{v}=\int _{V}dV\rho =\int _{V}dV\underbrace {|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}} _{densidad\ de\ probabilidad}$

$\Psi ({\vec {x}})$ es la densidad de amplitud de probabilidad

$M=\int _{V}dV\rho$

¿Cómo cambia $\Psi ({\vec {x}},t)$ con el tiempo?

Ecuación de Schrödinguer:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle =H|\Psi \rangle$

$i\hbar {\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=H\Psi (x,t)$

$H_{clas}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)$

$p\doteq -i\hbar {\frac {d}{dx}}\quad ({\text{En 3-D: }}{\vec {p}}\doteq i\hbar \nabla )$

$p^{2}\doteq -\hbar ^{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\quad ({\text{En 3-D: }}p^{2}\doteq -\hbar ^{2}\nabla ^{2})$

$H\doteq -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)$

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)$

Ecuación de Schrödinguer

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)\quad {\text{1-D}}$

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}},t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {x}},t)\quad {\text{3-D}}$

Si V no depende de t (sistema estacionario), los autovalores del Hamiltoniano son las energías accesibles al sistema

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi _{E}({\vec {x}},t)+V({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}},t)=E\Psi ({\vec {x}},t)$

$\langle {\vec {x}}|H|\Psi _{E}\rangle =\langle {\vec {x}}|E|\Psi _{E}\rangle$

Si integramos la ecuación de $S$ en esta representación

$\Psi ({\vec {x}},t)=\Psi _{E}({\vec {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})}$

$\rho _{E}({\vec {x}},t)=\Psi _{E}^{*}\Psi _{E}=|\Psi _{E}({\vec {x}})|^{2}$

$\Longrightarrow$ La densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

$\to$ Estacionario no significa que esté parado, pero sí que su probabilidad de encontrarlo en cualquier posición es fija.

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=H\Psi$

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}H\Psi$

${\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}\left(H\Psi \right)^{*}$

$\rho ({\vec {x}},t)=\Psi ^{*}\Psi$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\overbrace {=} -{\frac {i}{\hbar }}\left[\Psi ^{*}H\Psi -(H\Psi )^{*}\Psi \right]$

$-{\frac {i}{\hbar }}\left(-\hbar ^{2}\Psi ^{*}{\frac {\nabla ^{2}\Psi }{2m}}+\Psi ^{*}V\Psi +\hbar ^{2}\Psi {\frac {\nabla ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}-\Psi V^{*}\Psi ^{*}\right)=$

${\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)$

$=\nabla \left[\underbrace {i{\frac {\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)} _{{\text{Esto será el vector }}-{\vec {J}}}\right]$

${\vec {J}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)$

Densidad de corriente de probabilidad.

Notemos:

${\vec {J}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}(A-A^{*})={\frac {2i\hbar }{2m}}\Im {A}$

${\vec {J}}={\frac {\hbar }{m}}\Im {\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi \right)}$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot {\vec {J}}$

${\frac {\partial \rho ({\vec {x}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {J}}({\vec {x}},t)=0$

Integrando esto (para entender más cosas)

$V\in \mathbb {R} ^{3}:\int _{V}dV{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\int dV\nabla \cdot {\vec {J}}=0$

$\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\underbrace {\int _{V}dV\rho } _{\text{Probabilidad de encontrar la parícula en el volúmen}}+\oint _{V}\,d{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}=0$

Esto dice: "Lo que varía la probabilidad en V es la cantidad de probabilidad que se ha escapado"

En el infinito

$\Psi \to 0\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V\to 0}dV\rho =0\Rightarrow \int dV\rho =cte=1$

"Las desintegraciones o colisiones inelásticas no las resuelve bien la MC; es necesario Teoría Cuántica de Campos o potenciales complejos."

¿Cuánto valdrá $\int _{\mathbb {R} ^{3}}dx{\vec {J}}$

$\langle {\vec {P}}\rangle _{\Psi }=\langle \Psi |{\vec {P}}|\Psi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}x\Psi ^{*}(-i\hbar )\nabla \Psi =\int d^{3}xi\hbar (\nabla \Psi ^{*})\Psi$

$\int _{\mathbb {R} ^{3}}dx{\vec {J}}={\frac {\langle P\rangle _{\Psi }}{m}}=\langle {\vec {v}}\rangle _{\Psi }$

Si el estado es propio de $H$: $\Psi _{E}({\vec {x}},t)=\Psi _{E}({\vec {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t-t_{0})}$\\

$\rho =|\Psi _{E}({\vec {x}},t)|^{2}=|\Psi _{E}({\vec {x}})|^{2}=cte$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\Rightarrow \nabla \cdot {\vec {J}}=0$

$\langle {\vec {v}}\rangle _{\Psi _{E}}=0$

Estados estacionarios

$\to$ Conocidas las funciones de onda $\Psi _{E}({\vec {x}})$ puede obtenerse la evolución de una función de onda arbitraria $\Psi ({\vec {x}})$.

$|\Psi (t_{2})\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t_{2}-t_{1})}|\Psi (t_{1})\rangle =\sum _{E}|\Psi _{E}\rangle \langle \Psi _{E}|\Psi (t_{1})\rangle e^{{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}$

$\Rightarrow \Psi ({\vec {x}},t_{2})=\int d^{3}x_{1}\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}\Psi ({\vec {x}}_{1},t_{1})$

A partir de los autoestados podemos conocer la evolución temporal.

Teorema de Ehrenfest

Vamos a tratar de demostrarlo razonando.

Límite de la mecánica clásica:

Diferencia fundamental entre la Mecánica Cuántica y la Mecánica clásica:

${\vec {x}}$ y ${\vec {p}}$ tienen incertidumbre en una partícula simultáneamente.

$\left.{\begin{matrix}\langle {\vec {X}}\rangle _{\Psi },\ \langle {\vec {P}}\rangle _{\Psi }\\\Delta _{\Psi }{\vec {X}},\Delta _{\Psi }{\vec {P}}\end{matrix}}\right\}{\text{Esto sería clásica si: }}\hbar \to 0$

Supongamos:

$H_{cl}={\frac {P^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})\Rightarrow {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}={\frac {p_{i}}{m}}$

${\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}=(?)-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=F_{i}$

${\frac {d\langle A\rangle _{\Psi }}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle _{\Psi }$

${\frac {d}{dt}}\langle x_{i}\rangle _{\Psi }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [X_{i},H]\rangle _{\Psi };\ H={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {X}})$

$[X_{i},P^{2}]=[X_{i},P_{i}]=X_{i}P_{i}P_{i}-P_{i}P_{i}X_{i}=\overbrace {[X_{i},P_{i}]} ^{i\hbar }P_{i}+P_{i}\overbrace {[X_{i},P_{i}]} ^{i\hbar }=2i\hbar P_{i}$

${\frac {d}{dt}}\langle x_{i}\rangle _{\Psi }={\frac {2i\hbar }{i\hbar }}\langle {\frac {P_{i}}{2m}}\rangle _{\Psi }=\langle {\frac {P_{i}}{m}}\rangle _{\Psi }=\langle v_{i}\rangle _{\Psi }$

Y la segunda ecuación:

${\frac {d}{dt}}\langle P_{i}\rangle _{\Psi }={\frac {1}{i\hbar }}\langle [P_{i},H]\rangle _{\Psi }=$

$-{\frac {i\hbar }{i\hbar }}\langle \nabla V({\vec {x}})\rangle _{\Psi }=\langle {\vec {F}}\rangle _{\Psi }$

$[{\vec {P}},V({\vec {x}})]={\vec {P}}V({\vec {x}})-V({\vec {x}}){\vec {P}}=(-i\hbar \nabla )V({\vec {x}})-V({\vec {x}})(-i\hbar \nabla )\underbrace {=} _{repr.\ de\ pos.}-i\hbar (\nabla V({\vec {x}}))$

Teorema de Ehrenfest

${\frac {d\langle {\vec {x}}\rangle _{\Psi }}{dt}}={\frac {\langle {\vec {P}}\rangle _{\Psi }}{m}}$

${\frac {d\langle {\vec {P}}\rangle _{\Psi }}{dt}}=-\langle \nabla V({\vec {X}})\rangle _{\Psi }=\langle {\vec {F}}\rangle _{\Psi }$ $=\langle {\vec {F}}\rangle _{\Psi }=m{\frac {d^{2}\langle {\vec {X}}\rangle _{\Psi }}{dt^{2}}}$

El dentro del paquete de ondas se mueve como una partícula clásica sometida a la fuerza promedio (esto se parece a las leyes de Newton).

El propagador

La evolución temporal de la función de onda puede describirse usando el propagador

$\Psi ({\vec {x}}_{2},t_{2})=\underbrace {\int d^{3}x_{1}\overbrace {K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})} ^{propagador}} _{operadorintegral}\Psi ({\vec {x}}_{1},t)$

El propagador es el kernel del operador.

¿Cuál es su significado físico?

Supongamos una partícula localizada en ${\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{i}$ a las $t_{1}$

$|{\vec {x}}_{i}t\rangle ngrightarrow\Psi ({\vec {x}}_{i},t)=\delta ({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{i})$

$\Psi ({\vec {x}}_{2},t_{2})=\int d^{3}x_{1}K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})\cdot \delta ^{3}({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{i})=K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})$

Nos da la densidad de amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula que originalmente estaba en ${\vec {x}}_{1}$ en $t_{1}$ en ${\vec {x}}_{2}$ a las $t_{2}$.

$K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})=\langle {\vec {x}}_{2}\ t_{2}|{\vec {x}}_{1}\ t_{1}\rangle =\langle {\vec {x}}_{2}|U(t_{2},t_{1})\underbrace {|} _{{\mathcal {I}}=\sum _{E}|\Psi _{E}\rangle \langle \Psi _{E}|}{\vec {x}}_{1}\rangle$

Diagonalizo el Hamiltoniano y en esa base escribo el operador de clausura. y lo introducimos arriba.

$=\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}$

$\to$ Conocidos los autoestados del hamiltoniano $H$ (lo cual solo es posible en determinados casos muy concretos) puede deducirse el propagador.

$\to$ Estaremos interesados en el caso $t_{2}\rangle t_{1}$. Se define el propagador retardado

$K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})=\langle {\vec {x}}_{2}|U(t_{2},t_{1})|{\vec {x}}_{1}\rangle \theta (t_{2}-t_{1})$

donde la función es

$\theta (t_{2}-t_{1})=\left\{{\begin{matrix}1&si&t_{2}\rangle t_{1}\\0&si&t_{2}<t_{1}\end{matrix}}\right..$

Poner un dibujo que se vea que es como una función escalón.

El factor $\theta (t_{2}-t_{1})$ hace que el propagador rectificado satisfaga la si\-guien\-te ecuación diferencial

${\frac {\theta (t_{2}-t_{1})}{dt_{2}}}=\delta (t_{2}-t_{1})$

$K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})=\theta (t_{2}-t_{1})\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}$

$\left(H-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\right)K({\vec {x}}_{2},t_{2};{\vec {x}}_{1},t_{1})=$

$=-i\hbar \left(\delta (t_{2}-t_{1})\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}+\theta (t_{2}-t_{1})\sum _{E}\left(-{\frac {i}{\hbar }}\right)\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}\right)+\theta (t_{2}-t_{1})\sum _{E}E\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}$

$=-i\hbar \delta (t_{2}-t_{1})\sum _{E}\Psi _{E}({\vec {x}}_{2})\Psi _{E}^{*}({\vec {x}}_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E(t_{2}-t_{1})}$

$\underbrace {} _{\langle {\vec {x}}_{1}|}{\mathcal {I}}\underbrace {} _{|{\vec {x}}_{2}\rangle }=\sum _{E}|\Psi _{E}\rangle \langle \Psi _{E}|$

El resultado final es la ecuación diferencial

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla _{2}^{2}+V({\vec {x}}_{2})-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\right)K({\vec {x}}_{1},t_{1};{\vec {x}}_{2},t_{2})=-i\hbar \delta (t_{2}-t_{1})\delta ^{3}({\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1})$

Nota matemática:

$\to$ $K$ es una "función de Green" de $H-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t_{2}}}$

Resolver esta ecuación diferencial es complicado (imposible). El caso más fácil es $V({\vec {x}})=0$, particula libre.

$H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle$

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial z^{2}}}\right)\Psi _{E}({\vec {x}})=E\Psi _{E}({\vec {x}})$

Esto son las ondas planas (tienen la E bien definida)

$\Rightarrow \Psi _{E}({\vec {x}})=\Psi _{\vec {p}}({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$

$H\Psi _{E}({\vec {x}})={\frac {p^{2}}{2m}}\cdots$

Y tras operaciones se llega a $\cdots$

$K({\vec {x}}_{2}\cdots )=\theta (t_{2}-t_{1})e^{-i{\frac {3\pi }{4}}\left[{\frac {m}{2\pi \hbar (t_{2}-t_{1})}}\right]^{3/2}e^{i{\frac {m}{2\hbar }}}{\frac {{\vec {(}}x_{2}-{\vec {x}}_{1})^{2}}{t_{2}-t_{1}}}}$

$\cdots$

por métodos perturbativos para ir aproximándose a la solución a partir del propagador libre (consiste en poner el propagador igual a 0).