Mecánica clásica/Mecánica de una partícula/El vector de posición

Esta pretende ser una introducción amable a los conceptos vectoriales.

Vectores

Dos vectores libres. A uno se le ha llamado a. El único vector que tiene su misma dirección y módulo pero que apunta en el sentido contrario, es -a. Los entendemos como vectores libres ya que no nos importa su posición, solo sus respectivos módulos, direcciones y sentidos.

De manera no formal, un vector fijo o ligado se puede definir como un segmento de "una" recta orientado. Visualmente puede verse como una flecha en el espacio. Para saber dónde empieza y donde acaba, necesitamos un sistema de referencia.

Para definirlo, basta especificar:

La recta a considerar
Los dos puntos de dicha recta que definirán el segmento
Decidir cuál de los dos es el punto que apunta u orienta.

El concepto de orientación es un tanto difícil de enunciar formalmente, aunque intuitivo. Podemos considerar un plano perpendicular a nuestra recta. Dicho plano divide el espacio en dos partes. La orientación de nuestro vector hace una distinción entre de esas dos partes del espacio, rompiendo la simetría, marcando dónde está el "adelante" para el vector y cuál es su "atrás".

Si tenemos un vector podemos especificar sus siguientes 3 parámetros:

Módulo: Se indica especificando la longitud del segmento de recta.
Dirección: Se indica especificando cualquier recta paralela al vector.
Sentido: Se indica especificando la orientación del segmento de recta.

Con estos 3 parámetros se tiene toda la información que describen un vector fijo excepto en qué posición se encuentra, ya que no se ha especificado ninguna referencia sobre su posición (por ejemplo, esta puede ser especificada indicando el punto del espacio de donde parte flecha). Si solo importan estas 3 componentes y no su posición en un sistema de referencia, se habla de vectores libres.

Independientemente de que tratemos con vectores fijos o libres, lo que nos interesará será hacer cálculos que involucrarán a los 3 parámetros citados de dicho vector, pero no a su posición de origen en el espacio. Los vectores libres se eligen así para que parezca que vayan montados en la partícula que se mueve. Sin embargo que se estén moviendo no es importante, tan solo es útil para dibujarlos. En la práctica, no es realmente importante hacer distinciones entre ambos tipos de vectores.

Los conceptos vector fijo y vector libre son los que tratan muchos libros de texto y será así porque probablemente resultan intuitivos. En la práctica, una clasificación más acertada podría ser la de vectores con el origen fijo y vectores con el origen móvil. De manera más formal, todo ser reduce a magnitudes vectoriales, cuyo significado concreto siempre hay que explicar, y campos vectoriales, que son funciones que asocian a cada punto del espacio una detrminada magnitud vectorial.

El vector de posición

Vector de posición r en un espacio 3D. Es fijo ya que siempre comienza en el origen de coordenadas. Sin embargo, los parámetros que lo definen cambian continuamente con el tiempo, de forma que siempre apunte a la partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria dibujada.

Para describir el movimiento de una partícula o un punto de interés, usaremos el concepto de vector de posición de dicha partícula en un sistema de coordenadas. El vector de posición r se puede representar como un vector fijo que pivota o tiene el origen fijo en el origen del sistema de coordenadas y que acaba en la posición de aquello que nos interesa. Dicho vector, en general, será función del tiempo t, ya que conforme t cambie, r se irá modificando para apuntar siempre al lugar donde se encuentra la partícula. Sin embargo, es fijo ya que para cada momento nos interesa saber el emplazamiento del vector. En mecánica, dicha función cambiará siempre de manera continua, ya que los objetos no aparecen y desaparecen.

El vector de posición no es propiamente un vector, sino una función vectorial: dado un instante de tiempo, el vector de posición apuntará a un lugar, dado otro instante de tiempo, apuntará a otro lugar distinto (o quizás al mismo, si la partícula no se ha movido o a regresado a dicho punto). Esta función es vectorial porque a cada instante de tiempo asocia un vector, el vector posición de la partícula en dicho tiempo, y no un número real como ocurre con otras magnitudes como la temperatura.

Matemáticamente se describe así

${\begin{array}{llll}\mathbf {r} :&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{3}\\&t&\mapsto &\mathbf {r} (t).\\\end{array}}$

No se ha definido la forma la función r(t) ya que aún no está determinada, sólo podemos especificar cual es su dominio (los instantes de tiempo) y su codominio (vectores de posición). Será objetivo primordial de la mecánica calcular dicha función, ya que conociéndola, basta sustituir el instante de tiempo para saber en que posición se encuentra la partícula.

Coordenadas de un vector

Vector de posición en un espacio 2D. Su nombre se ha formado con el nombre de los puntos dónde empieza y dónde acaba. De esa forma, aunque no estuviera dibujado el vector, podrías imaginarlo si sabes dónde están el punto O y el punto A. Dado que el punto O nunca cambia y sus coordenadas son (0,0), ya que es un vector de posición, las componentes del vector OA coinciden con las coordenadas del punto A: (2-0,3-0)=(2,3)

Como hemos visto anteriormente, la forma más sencilla matemáticamente de especificar un vector es a través de sus 3 coordenadas en alguna base, a menudo la base cartesiana {x,y,z}. Entonces, el vector de posición se define como una función...

Motivación

Estas definiciones son muy generales, y casi nunca será necesario pensar de forma tan abstracta, viendo cómo el vector de posición se mueve o cómo los vectores libres además de cambiar sus tres parámetros van desplazando su punto de origen. La primera vez que uno ve estas definiciones, e incluso mucho tiempo después, uno puede asustarse y preguntarse el por qué de herramientas tan abstractas, pero tiene sentido que sean así, ya que si fueran más simples serían más fáciles de asimilar al principio, pero servirían para resolver un número menor de problemas, solo casos partículares. De esta forma se pueden resolver todos los problemas, y en los casos simples se llegará igualmente a las expresiones simples que son fáciles de manejar. Si se tienen problemas para visualizar estos entes matemáticos, no es demasiado importante en un principio. Cuando los casos son sencillos se podrán ajustar las ecuaciones de la forma en la que uno se sienta cómodo, pero siempre que se posible estaría bien dedicar un poco de tiempo a ver cómo se corresponde aquello que hacemos con estas definiciones generales.