Mecánica clásica/Mecánica analítica/Transformaciones canónicas

Motivación

En la Mecánica Hamiltoniana, las ecuaciones de Hamilton dicen cómo se mueven en el tiempo las coordenadas canónicas. La motiviación principal para hacer una transformación de coordenadas es simplificar (o hacer posible) la resolución analítica de un problema. Al igual que cuando resolvemos integrales o ecuaciones diferenciales, a menudo es útil hacer cambios de variables ya que podrían simplificarse nuestras fórmulas. Por ejemplo, para un problema de fuerzas centrales, podríamos estar interesados en cambiar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares o esféricas, ya que en estas coordenadas las fuerzas dependerán solo de la que indica la distancia al centro de fuerzas.

Por lo tanto, nuestro objetivo es hacer un cambio de coordenadas, resolver el problema (es decir, ver cómo evolucionan esas coordenadas en el tiempo), y hacer el cambio inverso para recuperar nuestras coordenadas originales en función del tiempo

$\varphi (t)\leftrightarrow {\bar {\varphi }}(t).$

Debemos poder expresar las nuevas coordenas en función de las antiguas y las antiguas en función de las nuevas, para poder pasar así de unas a otras

$\varphi =\varphi ({\bar {\varphi }}_{i})\leftrightarrow {\bar {\varphi }}={\bar {\varphi }}(\varphi _{i}).$

Con el subíndice i sólo queremos expresar la posible dependencia con todas las componentes del vector correspondiente, $\varphi$ o ${\bar {\varphi }}$.

Condición de canonicidad

Sabemos que la matriz jacobiana del cambio de coordenadas debe ser invertible, y su inversa es la relativa al cambio de coordenadas opuesto (aunque si quisiéramos usar la matriz del cambio inverso seguramente quedríamos sustituir las viejas coordenadas por las nuevas, ya que es la forma más común de usar dicha matriz):

$J(\varphi _{i})={\frac {\partial {\bar {\varphi }}(\varphi _{i})}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {q}}_{1}}{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {q}}_{1}}{\partial q_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial {\bar {q}}_{1}}{\partial p_{n}}}\\{\frac {\partial {\bar {q}}_{2}}{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {q}}_{2}}{\partial q_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial {\bar {q}}_{2}}{\partial p_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial {\bar {p}}_{n}}{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {p}}_{n}}{\partial q_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial {\bar {p}}_{n}}{\partial p_{n}}}\end{pmatrix}}$

Es fácil de recordar que la Jacobiana cumple

${\dot {\bar {\varphi }}}=J{\dot {\varphi }}\left(={\frac {\partial {\bar {\varphi }}}{\partial \varphi }}{\dot {\varphi }}\right).$

No todos los cambios de coordenadas serán válidos: Al aplicar la transformación de coordenadas a la función Hamiltoniana deben cumplirse las ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas.

${\dot {\varphi }}=\Omega \partial _{\varphi }H(\varphi _{i})\leftrightarrow {\dot {\bar {\varphi }}}=\Omega \,\partial _{\bar {\varphi }}{\bar {H}}({\bar {\varphi }}_{i})=\Omega \,\partial _{\bar {\varphi }}H(\varphi _{j}({\bar {\varphi }}_{i}))$

Calculemos la variación de las nuevas variables con lo que ya sabemos:

${\dot {\bar {\varphi }}}={\frac {\partial {\bar {\varphi }}}{\partial \varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {\partial {\bar {\varphi }}}{\partial \varphi }}\Omega \partial _{\varphi }H(\varphi _{i})$

Pero nosotros queremos hacer el gradiente de la función Hamiltoniana expresada en las coordenadas nuevas. Ahora se plantea un problema puramente matemático, para verlo con claridad simplifiquemos la notación.

Sea ${\bar {H}}$ una función de las coordenadas barradas

${\begin{aligned}{\bar {H}}:&\mathbb {R} ^{2f}\to \mathbb {R} \\&{\tbinom {\bar {q}}{\bar {p}}}\mapsto {\bar {H}}({\bar {q}},{\bar {p}}).\end{aligned}}$

Sea ${\bar {\varphi }}$ la aplicación (cambio de coordenadas) tal que especificadas unas coordenas sin barrar, da las correspondientes coordenadas barradas.

${\begin{aligned}{\bar {\varphi }}:&\mathbb {R} ^{2f}\to \mathbb {R} ^{2f}\\&{\tbinom {q}{p}}\mapsto {\tbinom {\bar {q}}{\bar {p}}}.\end{aligned}}$

Definamos la composición de la función ${\bar {H}}$ con ${\bar {\varphi }}$, de forma que dadas unas coordenadas sin barrar, obtengamos el valor que ${\bar {H}}$ da a dichas coordenadas a través del cambio de coordenadas ${\bar {\varphi }}$

$H\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,{\bar {H}}\circ \varphi$

o de forma más convencional,

$H(\varphi )\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,{\bar {H}}({\bar {\varphi }}(\varphi )).$

¿Cuál es el gradiente (con respecto a sus coordenadas, que son sin barrar) de $H$? La solución, que damos sin demostración, es

$\partial _{\varphi }H(\varphi )=J^{T}\partial _{\bar {\varphi }}{\bar {H}}({\bar {\varphi }})$

donde $J^{T}$ es la transpuesta de la matriz Jacobiana del cambio de coordenadas

$J={\frac {\partial {\bar {\varphi }}}{\partial \varphi }}.$

que por supuesto es la misma matriz jacobiana $J$ que utilizábamos antes, aunque hayamos perfilado ligeramente la notación.

Conocido este resultado, podemos sustituir en nuestra ecuación original, obteniendo

${\dot {\bar {\varphi }}}=J\,\Omega \,\partial _{\varphi }H(\varphi _{i})=J\,\Omega \,J^{T}\partial _{\bar {\varphi }}{\bar {H}}({\bar {\varphi }})$

Dado que las nuevas coordenadas deben cumplir las ecuaciones de Hamilton, viendo esta última ecuación es inmediato concluir que para que una transformación de coordenadas sea "justa" o canónica, debe cumplirse la siguiente condición de canonicidad

$\Omega =J\,\Omega \,J^{T}.$