Mecánica clásica/Mecánica analítica/Formulación Lagrangiana

La energía cínética como suma de funciones homogéneasEditar

Expresemos la velocidad como función las coordenadas generalizadas

 

Es inmediato expresar ahora la energía cinética   en términos de dichas coordenadas

 

Desarrollemos el cuadrado de la velocidad para expresar   como

 

La forma más elegante (y la más sencilla en este caso) de obtener el módulo cuadrado de un vector es realizar el producto escalar del vector consigo mismo

 

Si lo hacemos agrupamos adecuadamente los términos, veremos que

 

 

 

De esta forma, la energía cinética puede ser expresada como suma de tres funciones homogéneas en las velocidades generalizadas[1].

 

Una   homogénea de grado cero

 

una   homogénea de grado uno

 

y una   homogénea de grado dos

 

La energía cinética como función homogénea de grado 2Editar

Es fácil comprobar que las funciones de arriba son homogéneas del grado especificado en las velocidades. Por ejemplo, para la última, si multiplicamos las velocidades generalizadas por una constante   pero no el tiempo (ya que solo estamos hablando de homogeneidad en las velocidades), se obtiene que

 

pues las constantes han salido fuera de las sumatorias. Si se tienen problemas para visualizar estos cálculos puede ayudar mucho analizar un caso sencillo expandiendo la sumatoria en vez de dejarla expresada de manera compacta.

Como se observa fácilmente en la forma explícita de cada sumando, si las ecuaciones de transformación no dependen explícitamente del tiempo,  , como puede ocurrir cuando las ligaduras no dependen del tiempo (esclerónomas), se tiene que

 

pues los otros términos se anulan al incluir derivadas parciales de   con respecto al tiempo. En estas condiciones,   es función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas[1].

Notas y referenciasEditar

  1. 1,0 1,1 Goldstein, Herbert. «Survey of the Elementary Principles». Classical Mechanics (tercera edición edición). Addison Wesley. pp. 25.