Mecánica clásica/Mecánica analítica/Ejercicios/Un potencial cúbico

Consideremos un potencial del tipo

$U(q)={\frac {q}{a}}\left(1-{\frac {q^{2}}{b^{2}}}\right)={\frac {q}{a}}-{\frac {q^{3}}{ab^{2}}}.$

La Hamiltoniana de nuestro sistema será

$H(q,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {q}{a}}\left(1-{\frac {q^{2}}{b^{2}}}\right).$

Las ecuaciones de Hamilton son

${\begin{cases}{\dot {q}}={\cfrac {\partial H}{\partial p}}={\cfrac {p}{m}}\\{\dot {p}}=-{\cfrac {\partial H}{\partial q}}=U'(q)=-{\cfrac {1}{a}}+{\cfrac {3q^{2}}{ab^{2}}}\end{cases}}$

Análisis de la trayectoria en el espacio de las fases

Trayectoria en el espacio de las fases para un una partícula sometida a un potencial del tipo dado dependiendo de su energía total.

En la gráfica de la derecha se muestra una bellísima gráfica de las posibles trayectorias del sistema en el espacio de las fases. La discutiremos paso a paso, sin suponer que el lector tiene conocimientos previos sobre el análisis de gráficas de este tipo.

La primera consideración que debemos tomar es que la energía total se conserva, ya que la Hamiltoniana no depende del tiempo. Además, dicha energía es igual a la función Hamiltoniana. Por lo tanto, los valores de q y de p, al avanzar el sistema enel tiempo, serán siempre tales que harán que la función Hamiltoniana tome siempre el mismo valor, la energía total del sistema.

$H(q,p)=E={\text{constante}}$

Por lo tanto, para cada energía, sabiendo q o p está determinado el lugar donde se encuentra la otra coordenada, salvo quizá el signo de p, ya que aparece al cuadrado en la Hamiltoniana.

$p={\sqrt {2m(E-U(q))}}$

Esto tiene sentido físico ya que, por ejemplo, un oscilador armónico pasará con dos velocidades idénticas en módulo por el mismo sitio, aunque una vez la coordenada posición q aumentará o disminuirá (yendo hacia la derecha o a la izquierda), lo que se indica matemáticamente con distinto signo en la velocidad.

Mantengamos la vista ahora en la gráfica superior de la imagen. Esta es la gráfica de la energía potencial. El eje horizontal es la posición, con unidades de distancia, y la vertical tiene unidades de energía. Consideremos ahora que la energía cinética $T$ siempre es mayor o igual que cero pues es proporcional a $p^{2}$. Cuando $T$ sea cero, $U$ será máxima y será igual a $E$. En cualquier otro caso, la energía potencial será siempre inferior a la energía total.

$U(q)\leq E,\quad U_{\max }=E$

Por el contrario, la energía cinética puede aumentar indefinidamente, ya que U puede tomar valores negativos. De hecho, la energía potencial tiende a $-\infty$ cuando el sistema se aleja hacia la derecha.

La discusión anterior nos permite interpretar líneas horizontales como la energía total de un sistema que queremos estudiar. Como decíamos antes, el sistema tendrá para cualquier tiempo la misma energía. La energía potencial máxima la tomará en aquella posición en la que la recta horizontal corte a la gráfica. El resto de energías potenciales accesibles a la partícula serán aquellos puntos de la gráfica que se encuentran debajo de la línea horizontal.

Causística

Para energías como $E_{1}$, la partícula solo podrá encontrarse en la rama derecha del potencial cúbico.

Puntos de equilibrio

El caso de equilibrio estable es el más fácil de comprender. La partícula se encuentra allí, y si una fuerza externa modificara ligeramente su momento, se quedaría oscilando en torno a dicha posición de manera similar a un movimiento armónico simple. Una partícula en dicho equilibrio permanece siempre en reposo, y no se mueve a lo largo del espacio de las fases.

Lo mismo ocurre para el caso del equilibrio inestable. Sin embargo, si una fuerza perturbara a la partícula, esta caería hacia una de las ramas del potencial, cambiando mucho su posición. Ahora bien, como parace verse en la gráfica, hay una cierta energía para la cual dos trayectorias del espacio de las fases parecen cruzarse, precisamente por el punto de equilibrio inestable. ¿Cómo es posible? Esto no es posible, tanto matemática como físicamente. Físicamente es una contradicción, ya que se trataría de un punto indeterminista, no se sabría hacia dónde iría la partícula. Quedarse quieta tampoco es una solución, ya que una vez allí no se sabría si la partícula ha permanecido siempre en equilibrio inestable o llegó allí por alguna rama en algún momento. Veamos que si hacemos la cuentas que, la solución a la paradoja es que la partícula estará siempre en movimiento hacia dicho punto, pero cada vez más lento. Es decir, se tomará un tiempo infinito en llegar a la posición de equilibrio.

Demostración

Para una energía fija, para todo instante t, la partícula se encontrará en una posición q. La función q=q(t) es lo que a menudo nos interesa conocer. Podemos igualmente definir la función inversa t=t(q), aunque podría no ser una función propiamente, ya el sistema puede encontrarse en la misma posición en muchos tiempos distintos. Sin embargo, nuestro objetivo será determinar el tiempo que tardará para llegar el sistema al punto de equilibrio estable $q_{0}$ desde $q_{0}-\epsilon$, por lo que al ser una pregunta razonable todo estará bien definido, solo tendremos que tener cuidado.

El teorema de la función inversa nos dice

$\left.{\frac {dt(q)}{dq}}\right|_{q*=q(t^{*})}=\left(\left.{\frac {dq(t)}{dt}}\right|_{t^{*}}\right)^{-1}$

o de forma más cómoda

${\frac {dt(q^{*})}{dq}}={\frac {1}{{\dot {q}}(t^{*})}}$

para aquellos instantes $t^{*}$ donde se aplique el teorema. La demostración matemática es difícil, pero es fácil de recordar

${\frac {dq}{dt}}=\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{-1}.$

Olvidemos la notación con estrella, suponiendo que es válido el teorema de la función inversa en un entorno de $q_{0}$.

$q_{0}={\frac {b}{\sqrt {3}}}$

El tiempo necesario para ir hasta allí desde $q_{0}-\epsilon$ será

$\Delta t\equiv t(q_{0})-t(q_{0}-\epsilon )=\int _{q_{0}-\epsilon }^{q_{0}}{\frac {dt(q)}{dq}}dq=\int _{q_{0}-\epsilon }^{q_{0}}{\frac {1}{{\dot {q}}(t(q))}}dq$

Hasta ahora solo hemos usado argumentos matemáticos. Sin embargo, por medio de la primera ecuación de Hamilton, ${\dot {q}}=p/m$, podemos obtener la dependencia de la derivada de q con q misma a través de p. Pero además, sabemos que la energía se conserva, y a través de la Hamiltoniana podemos relacionar q con p.

$\Delta t=m\int _{q_{0}-\epsilon }^{q_{0}}{\frac {1}{p(q)}}dq=m\int _{q_{0}-\epsilon }^{q_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2m(E-U(q))}}}dq.$

Ya tenemos la solución, pero la integral definida parece difícil de resolver. Ya que, como queremos demostrar, no importa cómo de pequeño sea $\epsilon$, podemos hacer un desarrollo en serie de potencias de la función a integrar en $q_{0}$, y será válido a la precisión que queramos para un $\epsilon$ determinado.

Desarrollando en serie de potencias la energía potencial entorno a $q_{0}$ (la energía de potencias es una función perfectamente definida en dicho punto y no presenta ninguna irregularidad).

$U(q)=U(q_{0})+{\frac {1}{2!}}U^{''}(q_{0})(q-q_{0})^{2}+{\frac {1}{3!}}U^{'''}(q_{0})(q-q_{0})^{3}$

donde ya sabíamos que la primera derivada era 0 al ser un máximo local. Para nuestra energía particular, la energía total es exactamente igual a $U(q_{0})$, ¡si tuviera otra el problema no sería interesante! Por lo tanto:

${\begin{aligned}E-U(q)&=U(q_{0})-U(q)\\&=-{\frac {1}{2!}}U^{''}(q_{0})(q-q_{0})^{2}-{\frac {1}{3!}}U^{'''}(q_{0})(q-q_{0})^{3}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {6q_{0}}{ab^{2}}}(q-q_{0})^{2}+{\frac {1}{6}}{\frac {3}{ab^{2}}}(q-q_{0})^{3}\\&={\frac {\sqrt {3}}{ab}}(q-q_{0})^{2}+{\frac {1}{2ab^{2}}}(q-q_{0})^{3}\end{aligned}}$

Tenemos ahora que

$\Delta t=m\int _{q_{0}-\epsilon }^{q_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2m\left({\frac {3}{{\sqrt {3}}ab}}(q-q_{0})^{2}+{\frac {1}{2ab^{2}}}(q-q_{0})^{3}\right)}}}dq.$

Pensemos en el límite de la función a integrar cuando $q$ se aproxima a $q_{0}$. La función diverge, ya que el denominador tiende a cero. Sin embargo, esto no implica que la integral impropia de dicha función desde $q_{0}-\epsilon$ a $q_{0}$ no tenga un valor finito. En el límite, la función va como

$\lim _{q\to q_{0}}{\frac {1}{\sqrt {2m(E-U(q))}}}\approx \lim _{q\to q_{0}}{\frac {1}{\sqrt {\beta \left(q-q_{0}\right)^{2}}}}=\lim _{q\to q_{0}}{\frac {1}{\gamma (q-q_{0})}}$

Como sabemos, la integral de dicha función es el logaritmo, que diverge al integrarla, pero de la manera más lenta posible. Pero en cualquier caso, hemos demostrado que se requiere un tiempo infinito para llegar hasta el punto de equilibrio inestable, por lo que nunca se vulnerará el determinismo.