Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Prefacio

Presentación

Este texto es una introducción al estudio teórico de los espacios métricos y los espacios topológicos. Tales espacios son abstracciones naturales de algunas propiedades que aparecieron de los números reales y de las funciones en el desarrollo del Cálculo (infinitesimal). Varios de los resultados interesantes tenían como único fundamento una gráfica (ver el capítulo 1). Algunos matemáticos intuían relaciones entre algunos de esos resultados, pero no había una teoría que pudiera dar cuenta de los resultados y las conexiones. Cabe aquí mencionar que una fundamentación de los Reales no fue lograda hasta 1856 (Dedekind). A partir de allí, algunos trabajos previos de Bolzano y Cauchy empezaron a consolidarse en una teoría, que fue fuertemente impulsada por Weierstrass. A todo lo anterior, la invención de la teoría de conjuntos permitió una unificación del lenguaje de varias teorías. De allí en adelante, una pleyade de matemáticos inventó/descubrió lo que veremos en este texto.

La topología (análisis de posiciones relativas) tiene viejos antecedentes, inclusive en algunos resultados de la antigüedad. En tiempos modernos, se acredita a Euler con investigaciones en topología combinatoria (análisis de posiciones relativas en ciertas configuraciones independiente de la métrica). Las nociones actuales responden a los trabajos de muchos autores, pero se señalan a Hilbert, Riesz, Hausdorff y Poincaré como las figuras mas destacadas al comienzo del siglo XX.

La Topología (los Espacios Métricos son una parte de la Topología) puede estudiarse de diferentes puntos de vista. Una posibilidad es, recordando sus orígenes, orientar el estudio a algunos aspectos básicos del Análisis (Derivación e Integración). Otra posibilidad es atender aspectos mas cercanos a la geometría (como descripción de posibles concepciones de espacios y sus consecuencias). Esto ultimo será el punto de vista de este texto, por lo que hablaremos algunas veces de topogeometría; lo cual no quiere decir que no se atiendan temas relevantes al Análisis. En la literatura matemática, a veces se usa el nombre de topología conjuntista para la mayor parte del contenido de este texto.

Descripción de la Organización del Texto

Hemos procurado como estrategia de exposición, ir de lo particular a lo general o más abstracto, y dar abundantes ejemplos para ilustrar los conceptos y sus relaciones.

El primer capítulo contiene algunos ejemplos de los teoremas clásicos que fueron la motivación para los desarrollos teóricos posteriores. Como la historia del tema comienza con los Reales, hemos dedicado el capítulo 2 a los aspectos relevantes de los mismos para nuestros estudio, continuando en el capítulo 3, con los espacios clásicos multidimensionales.

Los espacios métricos son desarrollados en los capítulos 4 al 7. Por su parte, los espacios topológicos y sus propiedades principales aparecen en los capítulos 8 al 12.

Finalmente, en los capítulos 13 al 15, aplicaremos lo anterior al estudio de aspectos geométricos interesantes de los espacios euclídeos.

Hay además apéndices para referencia sobre conjuntos, funciones y grupos.

Requisitos Los requisitos de este texto son variados. Ojalá, un buen curso de Cálculo con al menos un vistazo al Cálculo Vectorial (Cálculo de funciones de varias variables)y, un curso de Álgebra Lineal. Deseable es un curso adonde el estudiante haya usado razonamientos formales.

Finalmente, pero de mucha importancia, es haber trabajado con conjuntos y sus propiedades, ojalá formalmente. No en vano, muchos llaman topología conjuntista a la mayoría de los aspectos de la topología que veremos. Posiblemente, por esa razón muchos textos de Topología comienzan con un extenso capítulo acerca de conjuntos.

En este texto, adoptamos una posición optimista: esperamos que los lectores tengan un conocimiento aceptable de la teoría de conjuntos. Lo que suponemos conocido, lo hemos resumido en los apéndices A y B; por lo que exhortamos al lector a revisarlos. Si puede más o menos leerlos cómodamente, está listo para este texto. Como esos apéndices tienen carácter referencial son, necesariamente, incompletos. Por lo que no se debe intentar recordar todos los detalles, más importante es saber que están allí. Cuando un material de los apéndices sea necesario para el texto, la lectora o lector puede buscarlo en el correspondiente apéndice.

Como cualquier texto de matemáticas, lo recomendable es una lectura inicial rápida de una o varias secciones o del capítulo para enterarse de lo tratado. Una segunda lectura debe ser lenta, reflexiva, con papel y lápiz a la mano, para revisar los detalles, intentar demostraciones y producir ejemplos. La producción y manejo de ejemplos es muy importante para el entendimiento de los conceptos y su alcance. La variedad de ejemplos para una noción es, de acuerdo a los psicólogos del aprendizaje, lo que consolida su comprensión. Las imágenes ayudan a entender los conceptos y los guían en la internalización de la nociones especialmente en este texto, que es un texto de una geometría especial, pero geometría al fin.

Finalmente mencionaremos que hay una bibliografía conteniendo libros que hemos usado en la preparación de este texto. La mayoría de esos libros se pueden hallar gratis en la WEB. Además hemos agregado unas referencias a sitios en la WEB donde se puede hallar información histórica o recursos adicionales. Siempre resultará iluminante, ver las biografías de los matemáticos que contribuyeron al desarrollo del tema (ver en la Bibliografía sitios de la Web relevantes).

Convenios acerca de la notación y nomenclatura

Hemos procurado usar la notación y nomenclatura lo más estandarizada posible. Sin embargo, esto no siempre es posible, debido entre otros a diferentes usos por autores (especialmente en los conceptos topológicos) o al uso en diferentes países. Indicamos a continuación, algunos usos que pueden ser considerados especiales.

• Función es cualquier asignación a cada elemento de un conjunto (dominio) de un elemento en otro conjunto (codominio). No usaremos nombres especiales como “aplicación”, “mapeo”, etc. cuyo uso es relativamente local, geográficamente hablando. Las funciones con valores reales se llamarán, a veces, funciones numéricas. Excepción: usualmente, en el contexto geométrico, una transformación de un espacio será una función del espacio en si mismo.
• Dados conjuntos A y B, llamamos reunión al conjunto denotado por A∪B. (Los miembros de un club se reúnen, no se unen).
• Sea f una función de A en B (simbolizado como f : A → B) tal que f(x) = y—lo que simbolizaremos por
  x ↦ y, Algunas veces, escribiremos f : A → B :: x ↦ f(x) para indicar lo anterior.
• Usamos N, Z, Q y R para indicar los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales y reales, respectivamente. Usaremos el nombre de los elementos de uno de esos conjuntos en plural y con letra inicial mayúscula para referirnos al conjunto. Así, por ejemplo, los Reales, quiere decir el conjunto de números reales, etc.
• Decimos que un conjunto A es infinito, cuando hay una función inyectiva de los Naturales en A. Es decir, cuando hay una sucesión infinita de elementos de A diferentes entre sí.
• Algunas veces, por razones tipográficas, usaremos a_i para denotar a_i.
• Algunos párrafos están precedidos por los símbolos (♣) o (♠) para indicar el primero algo intuitivo y el segundo algo que requiere de un conocimiento previo (no contenido explícitamente en el texto), por ejemplo, resultados del Cálculo.