Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Los Grupos

Introducción

En este apéndice resumimos nociones del Álgebra Abstracta que usamos en el texto: grupo, subgrupo y homomorfismos. Presentamos dichas nociones y, algunas otras nociones y propiedades asociadas.

Si el lector o lectora ha tomado un curso básico de Álgebra Abstracta, no hallará posiblemente nada nuevo aquí, una lectura rápida podrá ayudarle a recordar lo básico necesario para la lectura del texto.

Si el lector o lectora no ha tenido contacto previos con Álgebra Abstracta, recomendamos que lea las definiciones y las proposiciones. Procure memorizar tales definiciones y cuando se usen las propiedades en el texto, use la fe, en que está bien. Si dispone de tiempo, puede leer este material con calma, pero después de completar el texto, así tendrá una idea de adonde se aplican estas nociones abstractas.

Los Grupos

Definición C.1. Un grupo es un par < G, * > tal que G es un conjunto—conjunto base—y * una operación en G (o sea una función de G × G en G), tales que

(i) La operación es asociativa, o sea, para todo x, y, z en G se cumple que x * (y * z) = (x * y) * z;

(ii) hay un elemento especial en G llamado el neutro, denotado abstractamente por e, tal que para todo x en G: x * e = e * x = x.

(iii) para todo x, hay un elemento x′ (inverso de x) tal que x * x′ = e = x′ * x.

Ejemplos C.2.1. Los ejemplos más importantes de grupos, en este texto son:

<R,+>, los Reales con la suma (el grupo aditivo de los Reales);
<R^*, ·>, los Reales no nulos con la multiplicación (el grupo multiplicativo de los Reales).
<Rⁿ,+>, los espacios Rⁿ con la suma de vectores.

Se verifica que el neutro es único y que cada elemento x tiene un único inverso que se denota por x⁻¹.
Cuando no haya riego de confusión, usualmente se menciona solamente el conjunto base.
Cuando se usa una notación multiplicativa, siguiendo la tradición en Álgebra, se omite el signo de la operación.
Se dice que el grupo es abeliano cuando la operación es conmutativa.

Lema C.2.1 (Criterio del Neutro). Sea G un grupo con neutro e. Si xx = x entonces x = e.

Demostración. xx = x ⇒ x⁻¹xx = x⁻¹x ⇒ ex = e ⇒ x = e.

Lema C.2.2 (Propiedades de los Inversos). Sea G un grupo con elemento neutro e y sean x, y elementos cualesquiera.

(a) Si xy = e entonces y = x⁻¹.

(b) (x⁻¹)⁻¹ = x.

(c) (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹.

El Grupo de las Biyecciones. Sea E un conjunto y Biy(E) el conjunto formado por todas las biyecciones de E en si mismo. La composición de funciones produce a partir de dos funciones, digamos f y g, una nueva función f◦g—la composición de f con g.

Cuando f y g son biyecciones de un conjunto E, su composición es una biyección, por lo que la composición produce una operación en Biy(E). Biy(E) con esa operación determina un grupo—grupo de biyecciones de E— ya que la composición de funciones es asociativa, la función identidad, id_E es biyectiva y es un neutro para la composición, y cada función biyectiva es invertible y su inversa es biyectiva.

Extensión de las operaciones a subconjuntos. Sea G un grupo (con operación denotada multiplicativamente). Sean A y B subconjuntos de G, g un elemento del grupo. Las siguientes notaciones son usadas frecuentemente.

AB := {ab : a ∈ a, b ∈ B}. Si A = {g}, gB = AB. Análogamente si B = {b}.
A⁻¹ := {a⁻¹ : a ∈ A}.
Aⁿ = AA ··· A, producto de n copias de A.

Convenio. Para simplicidad de la exposición, hablaremos de “las operaciones” del grupo, para referirnos conjuntamente a la operación y al tomar inversos.

Los Subgrupos

Definición C.2. Sea G un grupo. Un subconjunto H de G determina o forma un subgrupo de G cuando H con las operaciones de G restringidas a H, proveen a H con una estructura de grupo. Notación; H < G.

Ejemplos C.3.1.

El subconjunto de los Enteros determina un subgrupo de E respecto a la adición.
El conjunto G y el conjunto {e} determinan subgrupos de G. Hay ejemplos de grupos sonde estos son los únicos subgrupos posibles.

Proposición C.3.1. (Criterio para Subgrupo) Sea G un grupo. Un subconjunto no vacío H determina un subgrupo de G, ssi.

(i) si x, y son elementos de G entonces xy está en H, y

(ii) si x esté en H, su inverso, x⁻¹ también está en H.

Demostración.

⁻¹

Las condiciones de la proposición anterior se pueden resumir en una sola, diciendo que para todo x, y en H se cumple que xy⁻¹ está en H. Usando operaciones con subconjuntos.

H < G ⇐⇒ HH ⊂ H y H⁻¹ ⇐⇒ HH⁻¹ ⊂ H.

Ejemplo C.3.2. Los Reales positivos determinan un subgrupo de <R⁺, ·>—grupo multiplicativo de los reales, ya que el producto de dos positivos es positivo y el recíproco de un positivo es positivo. no nulos. Otro subgrupo está formado por los racionales no nulos, $\mathbb {Q} ^{*}.$

Definición C.3. (Grupo de Transformaciones) Sea E un espacio vectorial. Llamaremos grupo de transformaciones (de E) a cualquier subgrupo del grupo de las biyecciones de E, Biy(E). Cuando del contexto quede claro que se trata de transformaciones, hablaremos simplemente de grupo.

(♠) Geometría. Sea E un espacio vectorial. Varias clases de transformaciones geométricas tales como las traslaciones, las isometrías y las semejanzas determinan grupos de transformaciones.

Ejemplo C.3.3. Probar que todas las transformaciones que fijan un punto forman un grupo. (Una transformación f fija un punto p, ssi, f(p) = p. ^[1])

Sean p un punto y G = {f ∈ Biy(E) : f(p) = p}. Entonces, como la identidad fija todos los puntos, en particular p, se tiene que id está en F, por lo que F no es vacío. Sea f y g dos transformaciones en G, entonces

(i) (fg)(p) = f(g(p)) = f(p) = p, por lo que fg está en G.
(ii) f⁻¹(p) = f⁻¹(f(p)) = (f⁻¹f)(p) = id(p) = p, o sea que f⁻¹ está en G.

Lo que prueba que G es un subgrupo de Biy(E), o sea un grupo de transformaciones.

Homomorfismo de Grupos
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Podemos relacionar grupos, digamos G y H, mediante funciones especiales de uno en el otro.

Definición C.4. Sean G y H grupos. Un homomorfismo de G en H es una función φ : G → H tal que φ(xy) = φ(x)φ(y).

Cuando la función φ sea biyectiva, decimos que se trata de un isomorfismo. Un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en si mismo.

Ejemplo C.4.1. (Reales con la suma) Como 3(x+y) = 3x+3y, “multiplicar por 3 es un homomorfismo Ren si mismo, que es, además, un isomorfismo.

Proposición C.4.1 (Propiedades de los Homomorfismos). Sea f : G → G′ un homomorfismo.

(a) La imagen por f del neutro (o identidad) e es un neutro en G′.

(b) La imagen por f del inverso de x es el inverso de f(x).

Demostración. 1. Como f(e)f(e) = f(ee) = f(e), sigue del lema C.2.1 que f(e) = e′. 2. Como f(x)f(x⁻¹) = f(xx⁻¹) = f(e) = e′, se concluye el resultado, usando el lema C.2.2.

Resumimos la definición y las propiedades de la proposición anterior, diciendo que los homomorfismos preservan productos, neutros e inversos.

La siguiente proposición muestra como generar subgrupos a partir de un homomorfismo.

Proposición C.4.2. Sea f : G → H un homomorfismo.

(a) La imagen de un subgrupo H de G es un subgrupo de G′.

(b) La preimagen de un subgrupo K′ de G′ es un subgrupo de G.

Demostración. (a) Sea H′ = f(H). Como H es un grupo (por ser subgrupo de G), el neutro e está en H, por lo que e′ = f(e) está en H′. Sean u, v elementos de H′. Luego, hay x, y tales que u = f(x) y u(y) = v. Entonces, uv = f(x)f(y) = f(xy) ∈ f(H) = H′. u⁻¹ = f(x)⁻¹ = f(x⁻¹) ∈ f(H) = H′. Por lo que H′ < G′. (b) Sea K = f⁻¹(K′) = {x ∈ G : f(x) ∈ K′}. K no es vacío, ya que e está en K y f(e) = e′ está en K′. Sean x, y en K. Entonces, f(xy) = f(x)f(y) está en K′, por lo que xy está en K. Por su parte, f(x⁻¹) = f(x⁻¹) está en K′, por lo que x⁻¹ está en K. Luego, K es un subgrupo de G.

Nomenclatura. Sea g un elemento de un grupo G. Denotaremos por c_g y llamaremos conjugación por g a la función de G en si mismo tal que c_g(x) = gxg⁻¹. c_g(x) es el conjugado de x por g. <hr<

Proposición C.4.3. Sean G un grupo y g un elemento de G. Entonces, c_g es un automorfismo del grupo.

Demostración. Ejercicio.

Subgrupo Normal. Decimos que un subgrupo H de G es normal, ssi, todos sus conjugados pertenecen a H, es decir que para todo g en G se cumple que gHg⁻¹ ⊂ H.

Notemos que gHg⁻¹ ←⇒ gH = gHg⁻¹g ⊂ <G, ssi, gH ⊂ Hg. Por la simetría de la situación se tiene que Hg ⊂ gH. Luego, H es normal, ssi, gH =Hg.

Conjunto Cociente y Grupo Cociente
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Sea G un grupo y H un subgrupo cualquiera. Se puede verificar que la relación x ∼_H y, definida como que x⁻¹y ∈ H, es una relación de equivalencia en G. Como toda relación de equivalencia define un conjunto cociente al que denotamos por G/H. Ver la sección A.3.

Los elementos del conjunto cociente son las clases de equivalencia de G. La clase de equivalencia de x en G consiste de todos los elementos que son equivalentes con x. Notemos que x ∼H y ←⇒ x⁻¹y ∈ H ←⇒ hay un < ∈ H tal que y = x<, o sea que la clase de equivalencia de x es xH. Llamamos a xH la clase lateral izquierda o coconjunto izquierdo de x relativo al subgrupo H. (en inglés “coset”). Se tiene una función canónica de G en G/H que asigna a cada x su clase de equivalencia xH que llamaremos la suprayección canónica.

La razón de incluir “izquierdo” se basa en que podemos definir una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia sean los Hx (clases laterales derechzas). En general, se tiene que xH ≠ Hx, los subgrupos H tales que para todo x se cumple que xH = Hx son los subgrupos normales introducidos arriba, ya que xH = Hx, ssi, xHx⁻¹ = H.

La importancia de los subgrupos normales reside en el hecho de que cuando H es normal en G, se puede proveer a G/H de una estructura de grupo tal que la suprayección canónica x ↦ xH es un homomorfismo. La operación de G/H se define como

xH * yH = xyH.

La operación está bien definida (no depende el resultado de los x, y escogidos en cada clase de equivalencia) ya que xHyH = x(Hy)H = x(yH)H = xyHH = xyH.

Propiedad Universal del Grupo Cociente Proposición C.5.1. Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos. El núcleo de f, ker(f), es un subgrupo normal de G y hay un homomorfismo inyectivo f* de G/H en G′ cuya imagen es f(G). En particular, cuando f es suprayectiva, f* es un isomorfismo de grupos.

Propiedad Universal del grupo cociente.

Comparar con lo expuesto en la sección B.6.

Ejercicios C
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Verificar que los siguientes subconjuntos de los Reales determinan subgrupos del grupo aditivo: los Enteros, los Racionales, los múltiplos enteros de π.
Verificar que los siguientes subconjuntos de los Reales no nulos determinan subgrupos del grupo multiplicativo, los Racionales no nulos, los Racionales positivos, las potencias enteras de 2.
Sean A y B subconjuntos no vacíos de G, g en G. Si A ⊂ B entonces gA ⊂ gB y Ag ⊂ Bg.
Probar la proposición C.4.3.
Probar que la relación ∼_H definida en el texto, es una relación de equivalencia. Probar que si y está en xH, yH = xH. Concluir que si xH y yH tienen un elemento en común, entonces xH = yH.

↑ Para simplicidad de la comunicación, transformaciones serán, implícitamente biyectivas, a menos que el contexto indique algo distinto.

[1] Para simplicidad de la comunicación, transformaciones serán, implícitamente biyectivas, a menos que el contexto indique algo distinto.

[1]