Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Conjuntos

Los Conjuntos

Este apéndice contiene un resumen de las nociones acerca de conjuntos usadas en el texto

Las Operaciones con Subconjuntos

Los conjuntos son usualmente denotados por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas. Los conjuntos se presentan ya sea por enumeración o por especificación. La presentación por enumeración presenta explícitamente los elementos como por ejemplo {1, 3, 5, 7, 9}. Las presentación por especificación indica los elementos como aquellos que satisfacen una propiedad. Por ejemplo, podemos expresar el conjunto anterior como {x en N: x es impar y menor que 10}.

(Igualdad.) Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

(Inclusión.) Cuando todos los elementos de un conjunto A están en un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B (A ⊂ B) o que B es un superconjunto de A (A ⊃ B). En ambas relaciones los conjuntos pueden ser iguales. Notemos que A = B, ssi, A ⊂ B y B ⊂ A.

(Conjunto vacío) El conjunto vacío es un conjunto sin elementos denotado por { } o ∅. El conjunto vacío está contenido en cualquier otro conjunto.

(Operaciones con Subconjuntos Supondremos que todos nuestros conjuntos son subconjuntos de un conjunto $\scriptstyle {\mathcal {U}}$, llamado el conjunto universal o universo del discurso. Recordemos las principales operaciones con conjuntos. Sean A y B conjuntos (subconjuntos del universal).

• (Reunión) A ∪ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A o x ∈ B}.
• (Intersección) A ∩ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∈ B.
• (Complemento) A^c = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ≠ A}.
• (Diferencia) A \ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∉ B}.

Suponemos conocidas las principales propiedades de esas operaciones. En particular que la reunión e intersección son asociativas, conmutativas, idempotentes y distributivas una respecto a la otra.

Algunas Propiedades Especiales

Las siguientes propiedades se usan frecuentemente en el texto. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se cumple que:

• A = B, ssi, (A ⊂ B) y (B ⊂ A).
• A ⊂ B ==> B^c ⊂ A^c.
• (Leyes de Morgan) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c y (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.
• A, B ⊂ C ==> A ∪ B ⊂ C.
• A, B ⊃ C ==> A ∩ B ⊃ C.

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El Producto Cartesiano

Sean A y B conjuntos. Llamamos producto cartesiano de A y B al conjunto denotado por A x B y que está formado por todos los pares ordenados (a,b), donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. Llamamos coordenadas de (a,b) al a (primera coordenada) y al b (segunda coordenada).

El producto cartesiano es distributivo respecto a la unión e intersección de conjuntos.

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\quad A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C).$

De manera análoga, podemos usar triples, cuartetos, ...etc. ordenados para formar productos de tres, cuatro, ... etc. conjuntos.

El producto cartesiano de n copias de un mismo conjunto A se denota por Aⁿ, el conjunto de las n-uplas de elementos de A.

Los Conjuntos Cocientes

Relación de equivalencia. Una relación ∼ en un conjunto A es una relación de equivalencia, ssi, es

• reflexiva, x ∼ x,
• simétrica, x ∼ y ==> y ∼ x,
• transitiva, x ∼ y y y ∼ z ==> x ∼ z.

Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Decimos que los elementos x, y son equivalentes, cuando se cumpla que x ∼ y. Para cada x de A, llamamos clase de equivalencia de x al subconjunto de A, [x], formado por todos los elementos de A que son equivalentes con x.

[x]  := { y ∈ A : y ∼ x }.

Se verifica que dos clases de equivalencia o son iguales o son disjuntas, y que la reunión de todas las clases de equivalencia es el conjunto A.

Conjunto cociente. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Llamamos "conjunto cociene de A por la relación ∼" al conjunto denotado por A/∼ y que está formado por todas las clases de equivalencia de la relación.

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