Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Conjuntos
Los Conjuntos editar
Este apéndice contiene un resumen de las nociones acerca de conjuntos usadas en el texto
Las Operaciones con Subconjuntos editar
Los conjuntos son usualmente denotados por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas. Los conjuntos se presentan ya sea por enumeración o por especificación. La presentación por enumeración presenta explícitamente los elementos como por ejemplo {1, 3, 5, 7, 9}. Las presentación por especificación indica los elementos como aquellos que satisfacen una propiedad. Por ejemplo, podemos expresar el conjunto anterior como {x en N: x es impar y menor que 10}.
(Igualdad.) Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.
(Inclusión.) Cuando todos los elementos de un conjunto A están en un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B (A ⊂ B) o que B es un superconjunto de A (A ⊃ B). En ambas relaciones los conjuntos pueden ser iguales. Notemos que A = B, ssi, A ⊂ B y B ⊂ A.
(Conjunto vacío) El conjunto vacío es un conjunto sin elementos denotado por { } o ∅. El conjunto vacío está contenido en cualquier otro conjunto.
(Operaciones con Subconjuntos Supondremos que todos nuestros conjuntos son subconjuntos de un conjunto , llamado el conjunto universal o universo del discurso. Recordemos las principales operaciones con conjuntos. Sean A y B conjuntos (subconjuntos del universal).
- (Reunión[1]) A ∪ B = { x ∈ : x ∈ A o x ∈ B}.
- (Intersección) A ∩ B = { x ∈ : x ∈ A y x ∈ B.
- (Complemento) Ac = { x ∈ : x ≠ A}.
- (Diferencia) A \ B = { x ∈ : x ∈ A y x ∉ B}.
Suponemos conocidas las principales propiedades de esas operaciones. En particular que la reunión e intersección son asociativas, conmutativas, idempotentes y distributivas una respecto a la otra.
Algunas Propiedades Especiales editar
Las siguientes propiedades se usan frecuentemente en el texto. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se cumple que:
- A = B, ssi, (A ⊂ B) y (B ⊂ A).
- A ⊂ B ==> Bc ⊂ Ac.
- (Leyes de Morgan) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
- A, B ⊂ C ==> A ∪ B ⊂ C.
- A, B ⊃ C ==> A ∩ B ⊃ C.
El Producto Cartesiano editar
Sean A y B conjuntos. Llamamos producto cartesiano de A y B al conjunto denotado por A x B y que está formado por todos los pares ordenados (a,b), donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. Llamamos coordenadas de (a,b) al a (primera coordenada) y al b (segunda coordenada).
El producto cartesiano es distributivo respecto a la unión e intersección de conjuntos.
De manera análoga, podemos usar triples, cuartetos, ...etc. ordenados para formar productos de tres, cuatro, ... etc. conjuntos.
El producto cartesiano de n copias de un mismo conjunto A se denota por An, el conjunto de las n-uplas de elementos de A.
Los Conjuntos Cocientes editar
Relación de equivalencia. Una relación ∼ en un conjunto A es una relación de equivalencia, ssi, es
- reflexiva, x ∼ x,
- simétrica, x ∼ y ==> y ∼ x,
- transitiva, x ∼ y y y ∼ z ==> x ∼ z.
Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Decimos que los elementos x, y son equivalentes, cuando se cumpla que x ∼ y. Para cada x de A, llamamos clase de equivalencia de x al subconjunto de A, [x], formado por todos los elementos de A que son equivalentes con x.
[x] := { y ∈ A : y ∼ x }.
- Se verifica que dos clases de equivalencia o son iguales o son disjuntas, y que la reunión de todas las clases de equivalencia es el conjunto A.
Conjunto cociente. Sea ∼ una relación de equivalencia en un conjunto A. Llamamos "conjunto cociene de A por la relación ∼" al conjunto denotado por A/∼ y que está formado por todas las clases de equivalencia de la relación.
- ↑ Prefiero usar reunión en vez de unión, porque caracteriza más la idea envuelta.