Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Conexos

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos

Introducción

Conexo significa intuitivamente algo formado por un solo pedazo, que está conectado, no separado. Un archipiélago (conjunto de islas) es un ejemplo de un espacio con varias partes separadas. Tales espacios se llamarán disconexos, mientras que una isla será un ejemplo de un espacio conexo (sin partes). Veamos un ejemplo matemático. Consideremos al espacio topológico R^* formado por los reales no nulos. R^* es la reunión de dos partes separadas: los reales positivos, R⁺, y los reales negativos, R^-. Ambos subconjuntos son conjuntos abiertos que son disjuntos entre si; y serán las partes topológicas del espacio. Vemos, además, intuitivamente, que no hay un camino continuo posible de un real positivo a un real negativo. La ausencia de un punto introduce un abismo infranqueable (continuamente) entre las dos partes. En una situación plana no sucede necesariamente lo anterior. Resulta intuitivamente claro que dos puntos de R^2* (el plano sin el origen) pueden unirse por un camino.

En este capítulo, analizaremos las nociones de conexo y de conexo por caminos. Un espacio será conexo por caminos cuando hay un camino continuo entre dos cualesquiera de sus puntos. Veremos que esas dos nociones son topológicas, es decir que cuando un espacio tiene una de esas propiedades, cualquier espacio homeomorfo también la tiene. Lo anterior nos servirá, a veces, para distinguir entre espacios topológicos. Por ejemplo, las consideraciones sobre caminos en R^* y R^2* nos indicará que esos espacios no pueden ser homeomorfos.

La formalización de dichas nociones y su uso en el estudio de espacios topológicos son un ejemplo de bella matematización de intuiciones.

Las Definiciones Básicas

Iniciaremos nuestro estudio con los espacios conexos por ser, como veremos, más generales que los espacios conexos por caminos. Postergaremos ejemplos importantes hasta ver espacios conexos por caminos, ya que será más fácil, usualmente, verificar dicha condición y, además, todo espacio conexo por caminos resultará ser conexo. El recíproco de lo anterior, sin embargo, no es válido en general.

La definición de espacio conexo abstrae de lo ilustrado en el ejemplo acerca de R^*. Allí, vimos que había dos subconjuntos abiertos disjuntos (los positivos y los negativos) cuya reunión era todo el espacio.

Definición. (Espacio Conexo)

Un espacio X es conexo, ssi, cuando $X=U\cup V$ con U, V abiertos no–vacíos, se cumple que $U\cap V\neq \emptyset .$
Un espacio disconexo es un espacio que no es conexo.
Un subespacio de X es conexo, cuando lo es respecto a su topología relativa.

Ejemplos 10.2.1.

R^* es un espacio disconexo.
Cualquier espacio o subespacio consistente de un único punto es conexo.

Disconexión, división, separación. Sea X un espacio topológico y sean A y B un par de subconjuntos propios abiertos disjuntos cuya reunión es X; lo que implica que X es disconexo. Diremos que el par A, B son (o determinan) una disconexión del espacio. También, podremos decir que definen una división del espacio.

La formalización de dichas nociones y su uso en el estudio de espacios topológicos es un ejemplo de bella matematización de intuiciones.

Conjuntos Abiertos–Cerrados. Sea X un espacio topológico disconexo, con una división dada por A y B. Como, entonces, B es el complemento del abierto A, tenemos que B es cerrado; lo mismo pasa con A.

Diremos que un conjunto es abierto–cerrado cuando sea abierto y cerrado a la vez.

En cualquier espacio X, el subconjunto vacío y todo el espacio X son abiertos y cerrados. En un espacio conexo, de acuerdo con la definición, estos son los únicos conjuntos abierto–cerrados posibles. Al contrario, cuando haya un subconjunto propio no vacío A de X que sea abierto–cerrado, se tendrá que X es disconexo, con una disconexión dada por A y su complemento.

Ejemplo 10.2.2. Sea X un espacio topológico discreto con más de un punto. Como cada subconjunto es abierto y cerrado, el espacio no es conexo.

Ejemplo 10.2.3. Sea X = [0, 1] ∩ ]2, 3] (subconjunto de la línea real) . Probaremos que X es disconexo.

Sea A = [0, 1]. Observemos que en la topología relativa de X, como A = X ∩ (−1, 3/2), se tiene que A es abierto. Claramente es cerrado. Luego A es abierto–cerrado. Como no es vacío, el espacio X es disconexo. Los subespacios [0, 1] y ]2, 3] forman una disconexión de A.

La siguiente proposición muestra que en la línea real, la noción de conexión coincide con la noción de intervalo.

Proposición 10.2.1 (conectividad en la Línea Real). Un subespacio no vacío de la línea real es conexo, ssi, es un intervalo. En particular, la línea real es un espacio conexo.

Demostración.

X = (X ∩ ]−∞, y[) ∪ (X ∩ ]y,+∞[ )

es una disconexión de X. Como esto contradice la hipótesis, X debe ser un intervalo.

Supongamos ahora que X es un intervalo de R. Si X consiste de un punto, entonces X es conexo. Supongamos que X no fuera conexo, por lo que habría subconjuntos propios no vacíos A y B de X,abiertos–cerrados, tales que X = A ∪ B y A ∩ B = ∅. Sean x ∈ A, z ∈ B, donde, sin perdida de generalidad, podemos suponer que x < z. Como X es un intervalo, [x, z] es un subconjunto de X. Sea y definido como y = sup{w : [x,w] ⊂ A}. Ya que x ≤ y ≤ z, y está en X. :Como A es cerrado, y debe ser un punto de A. Luego, y < z. Entonces, para todo r > 0, y + r debe ser un punto de B, como r es arbitrario, se tiene que y pertenece a la clausura de B y como B es cerrado, debe estar en B. Pero esto implica que A y B no son disjuntos. Luego, X debe ser conexo.

En el ejemplo 10.2.3, vemos que un espacio conexo (R) puede contener subespacios disconexos. Vemos, también, que un espacio disconexo puede tener subespacios conexos.

C=== La Conectividad y las Funciones Continuas === Teorema 10.2.2.La imagen de un espacio conexo por una función continua es un conjunto conexo.

Demostración.

Corolario 10.2.3. Ser conexo (resp. disconexo) es una propiedad topológica.

Demostración.

Corolario 10.2.4. Sea f : X → Y continua, donde X es conexo y Y es discreto. Entonces, f es constante.

Corolario 10.2.5. Sea f : X → R continua. Si X es conexo, su imagen en R es un intervalo.

Este corolario tiene interesantes aplicaciones al Análisis Real, por ejemplo el teorema del valor intermedio y sus aplicaciones (ver el Teorema A del primer capítulo y los ejercicios de la sección).

Criterio para Separación. La siguiente proposición nos da un criterio para disconexión.

Proposición 10.2.6. Un espacio topológico X es disconexo, ssi, hay una función suprayectiva continua de X en el espacio discreto {0, 1}.

Demostración.

Gráfica de una Función Real Continua. Sea f : I ⊂ R→ Run a función continua, donde I es in intervalo y consideremos la gráfica de f como un subconjunto de R².

Graf(f)=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=f(x),x\in I\}.

R²

El resultado anterior es la formulación matemática de la expresión que “una función continua tiene una gráfica que puede dibujarse sin levantar el lápiz”.

Una función real definida en un intervalo es continua, ssi, su gráfica es conexa.

Ejercicios 10.2

Sean A = [0, 1[, B = [1, 2] y C = A ∪ B subconjuntos de la línea real. Probar que C es conexo aunque A y B son disjuntos. Explicar.
Dibujar dos subconjuntos conexos del plano, cuya intersección no sea conexa.
Probar que el subconjunto de los Racionales no es conexo como subconjunto de la línea real. &&&
Sean A la 1–vecindad de (−1, 0), B la 1–vecindad de (0, 1) y C = A ∪ B.. Probar que
1. C es disconexo.
2. Sea D = C ∪ {(0, 0)}. Probar que no puede haber una función continua tal que la restricción a A (resp. B) sea constante con valor 0 (resp. 1). ¿Es D conexo?
Probar que ser conexo y ser disconexos son propiedades topológicas.
Sea $C=\{(x,0)\in R^{2}:x>0}\cup {(x,y)\in R^{2}:x>0,y=1/x\}.$ ¿Es C conexo? Justificar.
Probar que, de acuerdo a la definición, el conjunto vacío no es disconexo; por lo que debe ser conexo.
Probar que los siguientes enunciados son equivalentes.
a) X es conexo.

b) X no puede dividirse entre dos subconjuntos disjuntos no vacíos abiertos.

c) X no puede dividirse entre dos subconjuntos disjuntos no vacíos cerrados.

d) Los únicos subconjuntos abierto–cerrados de X son X y el conjunto vacío.

e) Los únicos subconjuntos de X con frontera vacía son X y el conjunto vacío.

f) Cualquier función continua de X en un espacio discreto es constante.

g) X no puede expresarse como la reunión de dos conjuntos no vacíos tales que cada uno de ellos es disjunto de la clausura del otro.
Enunciar equivalencias para espacio disconexo, correspondientes al ejercicio anterior.
Probar que cuando el producto de dos espacios no vacíos X × Y es un espacio conexo, también lo son X y Y . Generalizar a productos arbitrarios.
Sean X, Y conexos. Probar que X × Y (con la topología producto) es conexo. Sugerencia: suponer que hay una función continua f : X × Y en el espacio discreto {0, 1} y probar que es constante. Ver ejercicio sobre equivalencias para la noción de conexo. Generalizar a productos arbitrarios. Aplicar lo anterior para concluir que Rⁿ y Iⁿ (cubo unitario) son conexos.
Cuando un subespacio X es conexo ¿lo será un subconjunto del mismo? ¿Un espacio cociente X/R?
Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un subconjunto de B.
Sean A y B subconjuntos conexos cuya intersección no es vacía. Probar que su reunión es conexa. Generalizar a una familia de conexos con intersección no vacía. Aplicaciones al Análisis Real.
(Teorema del Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → Res continua, entonces para cualquier z entre f(a) y f(b), hay un x entre a y b tal que f(x) = z.
(Existencia de Ceros) Sea f : [a.b] → Rcontinua. Si f(a)f(b) < 0 entonces hay un c entre a y b tal que f(c) = 0.
Probar que dado un número real positivo a hay un número real positivo c tal que c³ = a.
(Teorema del Punto Fijo.) Sea f : [0, 1] → [0, 1] continua. Entonces, hay un z en [0, 1] tal que f(z) = z. (Sug. Si f(0) = 0 o f(1) = 1 no hay nada más que probar. En caso contrario, estudiar la función g(x) = x − f(x).)
Probar que cualquier función continua f de [a, b] en [a, b] tiene un punto fijo. (Sugerencia: probar que si X y Y son homomeomórficos entonces cada función continua de X en X tiene un punto fijo, ssi, cada función continua de Y en Y tiene un punto fijo. Luego usar que [a, b] es homeomorfo a [0, 1].)

Los Subespacios Conexos

Sea X un espacio topológico y Y un subespacio de X. ¿Cuándo Y es disconexo? Sigue de la definición que debe haber un par de abiertos A y B de X, tales que

(i) La reunión de los abiertos relativos A ∩ Y y B ∩ Y contiene a Y, lo que implica que Y ⊂ A ∪ B.

(ii) La intersección de A ∩ Y y B ∩ Y no puede contener puntos de Y, es decir

que debe ser un subconjunto del complemento de Y .

(iii) Los abiertos relativos A ∩ Y y B ∩ Y deben ser no vacíos.

Claramente, esas tres condiciones son, también, suficientes para garantizar que tales abiertos de X definen una división de Y .

La siguiente proposición nos da un criterio para que un par de subconjuntos de un subespacio definan una división del mismo.

Proposición 10.3.1. Si Y es un subespacio de X, una división de X es un par de conjuntos disjuntos no vacíos A y B cuya reunión es Y y tales que ninguno de ellos contiene un punto de acumulación del otro.

Demostración.

cl(A) ∩ Y = cl(A) ∩ (A ∪ B) = (cl(A) ∩ A) ∪ (cl(A) ∩ B) = A.

Análogamente, cl(B) ∩ Y = B. Lo que muestra que A y B son cerrados en Y . :Como cada uno de ellos es el complemento en Y del otro, son también abiertos en Y ; lo que muestra que forman una división de Y.

Lema 10.3.2. Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un subconjunto de B.

Demostración.

Proposición 10.3.3. Sea X un espacio topológico. Sea A un conjunto conexo y sea B tal que A ⊂ B ⊂ Cl(A). Entonces, B es conexo. En particular, Cl(A) es conexo.

Demostración.

Proposición 10.3.4. Sea X un espacio topológico. Sea (A_i) una familia de subconjuntos conexos de X cuya intersección no es vacía. Entonces A = ∪{A_i} es un conjunto conexo.

Demostración.

Ejercicios 10.3

Si los conjuntos A y B forman una division de un espacio topológico X y Y es un subespacio conexo de X, entonces Y es un subconjunto de A o un subconjunto de B.
Sean A, B subconjuntos de un espacio topológico X tales que A es conexo, B es abierto–cerrado, y A ∩ B ≠ ∅. Entonces, A ⊂ B.
Sean A y B subconjuntos conexos cuya intersección no es vacía. Probar que su reunión es conexa.
Sea (A_i), 1 ≤ i ≤ n, una familia finita de conexos tales que A_i ∩ A_i+1 ≠ ∅, i = 1, . . ., n − 1. Entonces, la reunión de los conjuntos es conexa. (cadena de conjuntos conexos).
Sea (A_i), i∈I, una familia de conjuntos conexos de un espacio X tal que la intersección de la familia no es vacía. Entonces, su reunión es conexa,

Las Componentes Conexas

Sea X un espacio topológico y sean x, y puntos de X. Decimos que “x está conectado con y”, ssi, hay un subconjunto conexo que contiene ambos puntos. Claramente la relación “estar conectados” es una relación de equivalencia. Denotaremos, en esta sección, por C_x a la clase de equivalencia de la relación anterior, que contiene a x. Sea A un conjunto conexo que contiene a x. Entonces, todos los elementos de A están relacionados con x, por lo que son elemento de C_x, es decir que A está contenido en C_x. Luego, C_x es la reunión de los subespacios conexos que contienen a x. Como dicha reunión tiene intersección no vacía concluimos que se trata de un conjunto conexo. Como son clases de equivalencias, si y está en C_x se tiene que C_y = C_x.

Llamaremos componentes conexas a las clases de equivalencia anteriores. Sigue de la discusión anterior que cada componente es un subespacio conexo de X que es maximal con respecto a esa propiedad. Un espacio es conexo cuando tiene solamente una componente conexa, el mismo espacio.

Como la clausura de un conexo es un conjunto conexo, la clausura de una componente debe coincidir con la componente, lo que implica que las componentes son conjuntos cerrados.

La siguiente proposición resume nuestra discusión sobre componentes conexas.

Proposición 10.4.1. Sea X un espacio topológico.

(a) Cada punto x de X está contenido en exactamente una componente conexa de X.
(b) Cada subconjunto conexo está contenido en una única componente conexa.
(c) Cada componente conexa es un conjunto cerrado.

Ejemplos 10.4.1.

Sea X = R^* = {t ∈ R : t ≠ 0}. X no es conexo porque no es un intervalo; sus componentes son los reales positivos y los reales negativos.
En el ejemplo 10.2.3, X = [0, 1]∪]2, 3], los subespacios [0.1] y ]2, 3] son las componentes conexas de X.
En un espacio topológico discreto, cada punto define una componente conexa.

Espacios Totalmente Disconexos. Son aquellos espacios donde cada punto es una componente conexa. Notemos que los espacios con un sólo punto son conexos y totalmente disconexos. Cualquier subespacio discreto es totalmente disconexo.

Espacios Localmente Conexos. Son aquellos espacios donde cada punto tiene una vecindad que contiene una vecindad abierta conexa del punto.

La línea real es un ejemplo de un espacio localmente conexo.

Proposición 10.4.2. Sea X un espacio localmente conexo. Cada componente conexa de un subespacio abierto Y de X, es un conjunto abierto. En particular, las componentes conexas de X son conjuntos abiertos.

Demostración.

Ejercicios 10.4

Probar que la relación “estar conectados” es una relación de equivalencia.
Un subconjunto no vacío conexo que es abierto y cerrado es una componente conexa.
Sea X un espacio topológico con una cantidad finita de componentes. Probar que cada componente es un conjunto abierto–cerrado.
Sean X, Y espacios homeomorfos. Probar que hay una correspondencia biyectiva entre las componentes de ambos espacios.
¿Cuántas componentes conexas tiene un espacio topológico indiscreto?
Dar un ejemplo de un espacio topológico finito que no sea totalmente indiscreto.

Los Caminos

En la próxima sección, veremos una manera diferente de conexión, la conexión por caminos. Allí, veremos que un espacio es conexo por caminos, cuando haya un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio.

¿Qué es un camino?

Definición. (Camino, Trayectoria) Sea X un espacio topológico no vacío y sean x, y puntos de X.

Llamaremos trayectoria (continua) de x a y, a una función continua σ : [a, b] ⊂ R → X tal que σ(a) = x y σ(b) = y. x es el punto de inicio y y el punto final de la trayectoria.
Llamaremos camino de de x a y al conjunto de puntos de una trayectoria de x a y.El camino asociado a la trayectoria σ se simbolizará por {σ}.
Llamamos punto inicial del camino, o de la trayectoria, al x, mientras que y e>s su punto final. Ambos puntos son los extremos del camino, o de la trayectoria.

Cada trayectoria define un camino, pero puede haber varias trayectorias diferentes para el mismo camino. Cada trayectoria define un camino, pero puede haber varias trayectorias diferentes para el mismo camino. Decimos que un camino es cerrado cuando su punto inicial coincide con su punto final.^[1]

Ejemplo 10.5.1. Sea E = R². Una trayectoria de x a y es σ: [0, 1] → Rtal que σ(t) = (1 − t)x + ty. El camino definido por σ, {σ}, es el segmento lineal con extremos x y.

Ejemplo 10.5.2. Sean σ₁, σ₁ : [0, 2π] → R² tales que:

σ₁(t) = (cos(t), sen(t)) y

σ₂(t) = (cos(2t), sen(2t)).

Notemos que ambas trayectorias tienen como imagen la circunferencia unitaria. Ambas empiezan en (1,0) y terminan en el mismo punto. La diferencia entre ambas trayectorias es que, pensando cinemáticamente, la segunda recorre la circunferencia con el doble de rapidez que la primera. Lo que hace que la segunda recorra dos veces la circunferencia, mientras la primera lo hace solo una vez.

El último ejemplo muestra que, conceptualmente, camino y trayectoria son nociones relacionadas, pero diferentes entre si. En estudios geométricos resulta, a veces, necesario distinguir entre ambas nociones. Un camino es un objeto geométrico (conjunto de puntos), una trayectoria que define al camino es una parametrización del camino, lo que representa una manera de recorrer el camino. En general, las nociones geométricas son aquellas que dependen del camino y no de una trayectoria en particular del mismo.

Al contrario, en el contexto topogeométrico lo único que nos interesará, por ahora, es que haya un camino entre dos puntos del espacio, por lo que es tradicional usar camino como sinónimo de trayectoria (continua); lo que haremos en este capítulo. Lo que será importante para nuestras consideraciones será que los caminos (como subconjuntos) son subconjuntos conexos del espacio (ya que son imágenes de conexos).

Simbolizaremos por x ↝ y a un camino de x a y (o sea una función σ continua de algún intervalo [a, b] ⊂ R en el espacio con σ(a) = x y σ(b) = y. Diremos, también, que el camino une su punto inicial con su punto final.
Observemos que el dominio de una trayectoria puede ajustarse a ser cualquier intervalo, por ejemplo, sea σ: [a, b] → X una trayectoria y sea f : [c, d] → [a, b] tal que

f(t)={\frac {b-a}{d-c}}(t-c)+a.

Claramente, f es continua y f(c) = a y f(d) = b. Además, σ ◦ f : [c, d] → X es un trayectoria que define el mismo camino que σ.

Notemos que caminos pueden concatenarse, en el sentido que dados caminos x ↝ y y y ↝ z, tenemos un camino x ↝ z. (Posiblemente, será necesario ajustar los dominios de los caminos, para definir la concatenación).

Ejercicios 10.5

Probar que cuando hay una trayectoria de x a y, hay otra de y a x.
Sean σ_1, σ_2 : [0, 1] → R² tales que σ_1(t) = (1, t) y σ_2(t) = (1−t, 1). Probar que σ_1 : (1, 0) ↝ (1, 1) y que σ_2 : (1, 1) ↝ (0, 1). Escribir las ecuaciones para el camino de (1, 0) a (0, 1) recorriendo los caminos anteriores.
Sea X un espacio topológico no vacío. Probar que la relación x y es una relación de equivalencia en X. Describir en palabras la clase de equivalencia de un punto x. Definir componente conexas por caminos y enunciar algunas de sus propiedades.
Sea S² la esfera unitaria de R³, o sea que $\mathbb {S} ^{2}:=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.$ Probar que dos puntos cualesquiera de S² pueden unirse por un camino continuo.

La Conexión por Caminos

Definición. (Conexo por Caminos)

Un espacio X es conexo por caminos, ssi, para todo x, y hay una camino (continuo) de x a y, esto es hay una función continua σ : [0, 1] → X tal que
σ(0) = x, y σ(1) = y.
Un espacio X es localmente conexo por caminos cuando cada uno de sus puntos tiene una vecindad abierta que es conexa por caminos.
Un subconjunto Y de un espacio topológico es conexo por caminos (resp. localmente conexo por caminos) cuando lo sea con respecto a la topología relativa.

Recordemos que x ↝ y simboliza a un camino de x en y. Es fácil verificar que x ↝ y es una relación de equivalencia cuyas las clases de equivalencia se llaman las componentes conexas por caminos del espacio.

Proposición 10.6.1. Cada intervalo de la línea real es conexo por caminos.

Demostración.

La siguiente proposición, aparte de sus implicaciones teóricas, nos será muy útil para probar que ciertos espacios son conexos.

Proposición 10.6.2. Los espacios conexos por caminos son conexos.

Demostración.

^-1

La conectividad por caminos implica a la conectividad, pero el recíproco no es válido como lo muestra el ejemplo siguiente.

Ejemplo 10.6.1 (La curva seno del topólogo).

Curva Seno de los Topólogos

(El nombre proviene de uso como ejemplos de libros de topología.) Sean

A = {(x,y): x=0, -1 ≤ y ≤ 1}
B la gráfica de la función f:(0,1] →, f(t) = sen(1/t), o sea que
B= {(x,y): 0 <x ≤ 2/π, y = sen(1/x)};
C = A \cup B.

Sea a = arcsin(y), y ∈ [−1, 1], entonces la sucesión x_n = 1/(a + sin(2 π n) es tal que x_n → 0 y f(x_n) → a.). Lo anterior implica

(i) que cada punto de A es un punto de acumulación de B y

(ii) que la función f no puede extenderse a una función continua cuyo dominio incluya al 0. Luego, C coincide con la clausura de B, por lo que es conexo; pero, por (ii0, no hay camino continuo uniendo los puntos de A con los puntos de B, es decir que C no es conexo por caminos.

Gráficamente, podemos también apreciar que C tampoco es localmente conexo.

Proposición 10.6.3. Las bolas abiertas y las cerradas de Rⁿ son conexas por caminos.

Demostración.

{\begin{array}{rcl}x-a=t(b-a)&\implies &\\d(x,a)&=&kx-ak=kt(b-a)ks=tkb-ak=td(b,a)<d(a,b).\end{array}}

Lo que prueba que x está en B.

El argumento anterior muestra que dados x, y cualesquiera tenemos caminos de a hasta x y de a hasta y. Recorriendo el primer camino en sentido inverso, seguido por el segundo camino, obtenemos un camino de x hasta y.

Corolario 10.6.4. Las bolas abiertas y cerradas de Rⁿ son conexas.

Corolario 10.6.5. Los espacios Rⁿ son conexos por caminos, localmente conexos y conexos.

Demostración.

Rⁿ

Usaremos el siguiente lema para la próxima proposición..

Lema 10.6.6. Cuando dos espacios son conexos por caminos y su intersección también lo es, entonces su reunión es conexa por caminos.

Demostración.

Proposición 10.6.7. Cuando n ≥ 1, la esfera unitaria Sⁿ = {x ∈ Rⁿ⁺¹ : |x| = 1} es conexa, conexa por caminos y localmente conexa. S⁰ = {1,−1} es totalmente disconexa (espacio discreto).

Demostración.

_i

ⁿ

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1.

Si n = 1, S¹ es la circunferencia unitaria. Podemos representar cada punto de S¹ como (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π . La representación anterior es única excepto para p = (1, 0) que corresponde a t = 0 y t = 2π. Asociaremos la coordenada 0 con (1,0). Sea q un punto con coordenada s. El camino definido por σ(t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ s une continuamente p con q. Lo que muestra, que dados dos puntos q₁, q₂, el camino q₁ ↝ p ↝ q₂ une ambos puntos. Eso muestra que S¹ es conexa por caminos, por lo que es conexa.

Supongamos, ahora, que n > 1 y sea S⁺ = {x ∈ Sⁿ : x_n+1 ≥ 0} y S⁻ = {x ∈ Sⁿ : x_n+1 ≤ 0}. Entonces, S = S⁺ ∪ S^- y S⁺ ∩ S^- = S^n-1.

Sea φ: S⁺ → B = B[0;1] ⊂ Rⁿ tal que φ(x₁, ..., x_n, x_n+1) = (x₁, . . ., x_n) (la proyección sobre el hiperplano ecuatorial). Entonces, φ es continua con inversa dada por la función continua

(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto (x_{1},x_{n},{\sqrt {1-x_{1}^{2}-\dots -x_{n}^{2}}}).

Por lo que, S⁺ es homeomorfa a B. Como sabemos que B es conexa por caminos, concluimos que S⁺ es conexa por caminos. Procediendo de manera análoga, concluimos que S^- es conexo por caminos. sigue entonces, que S es la reunión de dos espacios conexos por caminos, cuya intersección es, por inducción sobre n ≥ 2, conexa por caminos. Por el lema, tenemos que S es localmente conexa; por lo que es conexa. Dejamos la conectividad local de ejercicio.

Corolario 10.6.8. Las esferas de radio cualesquiera son conexas, conexas por camino y localmente conexas por caminos.

Demostración.

ⁿ

⁺

Corolario 10.6.10. Rⁿ \ {0}, n > 1, es un espacio conexo, conexo por caminos y localmente conexo por caminos.

Demostración.

Rⁿ

Proposición 10.6.10. Un espacio X que es conexo y localmente conexo por caminos es conexo por caminos.

Demostración.

_x

_y

_x

Proposición 10.6.11. Sea f : X → Y continua. Cuando X es conexo por caminos entonces su imagen por f también lo es.

Demostración.

Corolario 10.6.12. “Conexo por caminos” es una propiedad topológica.

Proposición 10.6.13. El producto topológico de dos espacios conexos (resp. conexo por caminos) es conexo (resp. conexo por caminos).

Demostración.

₁

₂

₁

₂

₁

₂

_i

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

Ejemplo 10.6.2. Un toro T = S¹ × S¹ es conexo por caminos.

Ejercicios 10.6

Sea f : I → R continua. Probar que cuando el intervalo I es cerrado, la gráfica de f es conexa por caminos.
Sea X un espacio topológico. Sea C_x el conjunto de puntos de un espacio topológico X unidos al punto x de X.
1. Cada x de X, x está en C_x.
2. Para todo x, y en X, si y está en C_x, entonces x está en C_y.
3. Para todo x, y, z de X, si y está en C_x, z está en C_y, entonces z está en C_x.
4. Para todo x, C_x es conexo por caminos.
5. Todo A conexo por caminos que contiene a x, está contenido en C_x.
6. Un conjunto X es conexo por caminos, ssi, X = C_x para algún x de X.
Sea f : I → R continua. Probar que cuando el intervalo es cerrado, la gráfica de f es conexa por caminos.
Sea (Xi) una familia de espacios y sea X su producto. Si todos los espacios son localmente conexos y todos, excepto popr una cantidad finita de ellos, son conexos, entonces X es localmente conexo.
1. Probar que I = [0, 1] no es homeomorfo a S¹.
2. Probar que Sⁿ (n > 1) no es homeomorfa a ¹.
Sean I = [0, 1] y J =]0, 1[. Probar que
1. J es homeomorfo a un subconjunto de I, e I es homeomorfo a un subconjunto de J, pero
2. I no es homeomorfo a J.

Ejercicios del Capitulo 10

¿Cuáles de los enunciados siguientes son válidos? En caso afirmativo, dar una razón; en caso contrario, producir un contraejemplo.
a) Los subespacios de espacios conexos son conexos.

b) Los subespacios de espacios localmente conexos son localmente conexos.

c) Los espacios conexos por caminos son conexos.

d) Hay una cantidad finita de componentes conexas de un espacio.

e) La reunion de intervalos de la línea real es un conjunto conexo.

f) La intersección no vacía de intervalos de la línea real es un conjunto conexo.
Sea X un espacio topológico. Sea A un subconjunto de X.
1. Si A es conexo ¿qué podemos decir de su interior, clausura y frontera?
2. Si el interior (resp. la clausura, la frontera) de A es conexo, ¿qué podemos decir de A.
Sea C un componente de un conjunto A de un espacio localmente conexo. Demostrar que:
a) int(C) = C ∩ int(A).

b) fr(C) ⊂ fr(A).

c) Si A es cerrado, entonces fr(C) = C ∩ fr(A).
Sean A y B subconjuntos cerrados y no vacíos de un espacio X. Si su reunión e intersección son conexos, entonces A y B son conexos.
Decimos que dos conjuntos A y B están separados, ssi, ninguno de ellos contiene puntos de acumulación del otro.
1. Probar que si A ∩ B = ∅ y ambos son abiertos o ambos cerrados, entonces están separados.
2. Suponer que A y B están separados. Probar que
  A ∪ B abierto implica que A y B son abiertos,
  
  A ∪ B cerrado implica que A y B son cerrados.
3. Demostrar que, en un espacio métrico, cuando d (A, B ) > O, entonces A y B están separados. Dar un ejemplo que pruebe que el recíproco no necesariamente es válido.
4. Un espacio es disconexo cuando es la reunión de dos conjuntos separados.
5. Cuando A y B son conjuntos conexos no separados, entonces A ∩ B es conexo.
Sea A un subconjunto conexo de un espacio localmente conexo. Entonces, A es localmente conexo.
Probar que el producto de espacios localmente conexo es localmente conexo.
Probar que el cubo unitario, Iⁿ es conexo, conexo por camino y localmente conexo.
Sea E un espacio topológico y sea A y B subconjuntos conexos tales que A ∩ cl(B) ≠ ∅. Probar que A ∪ B es conexo.
Sea ~c la relación de equivalencia definida por las componentes. Probar que X/~c es totalmente disconexo.
Probar que espacios discretos son localmente conexos.
El espacio cociente de un espacio localmente conexo es localmente conexo.
Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. Si C es un subespacio conexo de X que interseca A y su complemento, entonces debe intersecar su frontera.
En un espacio X los siguientes enunciados son equivalentes.
1. X es localmente conexo.
2. Cada componente conexa de un subconjunto abierto de X es un conjunto abierto.
3. Los conjuntos abiertos conexos forman una base de la topología de X.
Sea E un espacio normado que consideraremos como espacio topológico inducido por la norma.
1. Cuando la esfera unitaria (||x|| = 1) tiene una propiedad topológica, cualquier esfera también la tiene.
2. Cuando el cubo unitario, Iⁿ, tiene un propiedad topológica, cualquier caja cerrada (ver ejemplo 5.2.7) también la tiene.
Sea E un espacio normado. Un subconjunto K de E es convexo, ssi, para todo x, y en K,K contiene al segmento lineal que une dichos puntos. Probar que conjuntos convexos son conexos por caminos.
Sea M = {(x, y) ∈ R² : y > x²}. Probar que M es conexo por caminos.
Sea E un espacio normado y sean x, y puntos de E. Un camino de x a y es un camino poligonal, ssi, hay una sucesión p₀, ..., p_n de puntos tales que (I) p₀ = x, p_n = y; y (ii) hay un segmento lineal uniendo p_i con p_i+1, i = 0, n − 1.
1. Probar que un conjunto es conexo por caminos cuando hay un camino poligonal entre dos de sus puntos.
2. Dar un ejemplo de un espacio conexo por caminos, para él cual no siempre es posible hallar un camino poligonal entre dos de sus puntos.
Sea S = [0, 1] ⊂ R, pero provisto con la topología de complementos finitos, o sea que los cerrados de S son S o los subconjuntos finitos. Probar que en esta topología S es conexo y conexo por caminos.
¿Es conexo el espacio R_T1? (ver definición en el ejercicio 10 al final del capítulo 8). En caso negativo, ¿cuáles son sus componentes?

↑ Cerrado como camino es distinto de conjunto cerrado.

[1] Cerrado como camino es distinto de conjunto cerrado.

[1]