Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Derivadas

Medida del crecimiento de una función

El resultado de derivar una función es una segunda función que nos indica el crecimiento de la función original. Esto es, en un punto determinado, la pendiente de la función original. Desde un punto de vista gráfico para facilitar su comprensión, una línea recta dibujada horizontalmente tiene una función, una ecuación, asociada como la siguiente: $y=n$, donde n es un número. La derivada de esta función es 0, puesto que n es una constante. En este caso la derivada nos explica que la función ni crece ni decrece.

Ahora imaginemos una recta creciente de función $y=nx$, donde n (la pendiente) es un número positivo. Si derivamos la función obtendremos de resultado una constante de valor n (la pendiente de la función anterior). Siendo este número positivo sabemos que la función crece.

Conclusión: La derivada de una función nos dice la pendiente de la función.

¿Es esto siempre válido? Con matices. En el caso de las funciones de recta (polinomios de 1r grado) lo es porque independientemente del punto en el que derives el resultado es constante.

¿Y en el caso de curvas (polinomios de grado superior a 1 u otras funciones)? Es válido. PERO: La derivada genérica de la función $f(x)$ nos devolverá una función derivada $D[f(x)]$ que nos dará toda la información del crecimiento de la función original, para cada punto de esta, por lo que para obtener la información de crecimiento en un punto concreto debemos evaluar la función derivada en ese punto. Es decir, $D[f(1)]$ nos dará la tasa de crecimiento de la función $f(x)$ para puntos infinitesimalmente cercanos a 1.

Definición

Sea $f\,$ una función continua, y $C\,$ su curva. Sea $x=a\,$ la abscisa de un punto regular, es decir donde $C\,$ no hace un ángulo. En el punto $A(a,f(a))\,$ de $C\,$ se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es $f^{\prime }(a)$, el número derivado de $f\,$ en $a\,$.

La función $a\rightarrow f^{\prime }(a)$ es la derivada de $f\,$.

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir $f^{\prime }(a)$, se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de $f^{\prime }(a)$ determina si la función $f\,$ crece o decrece.

En este gráfico se ve que donde $f\,$ es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto $f^{\prime }\,$ es positiva, como en el punto $D\,$ ($x=d\,$), mientras que donde $f\,$ es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y $f^{\prime }$ es negativa, como en el punto $B\,$ ($x=b\,$). En los puntos $A\,$ y $C\,$, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego $f^{\prime }(a)=0=f^{\prime }(c)$.

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de $f$. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Interpretación geométrica

Sea $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ una función cualquiera.

Si trazamos una recta entre dos de sus puntos, podemos hallar la Tasa de Valor Medio como los incrementos en la ordenada respecto de la variable independiente. Es decir, la pendiente de la recta secante a la función por los puntos $(x,y),(x_{0},y_{0})$ es: $m={y-y_{0} \over x-x_{0}}$, o de forma abreviada, $m={\Delta x \over \Delta y}$.

Ahora acerquemos $x_{0}$ y $x_{1}$ uno al otro. Cuando se confundan en un punto, también lo harán la recta tangente con la secante. De este modo, por la definición de límite, tema de este curso, podemos hallar la función $f'$ como sigue: $m_{0}=f'(x)=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

Esta es la definición formal de función derivada. Sale directamente de la fórmula de la pendiente, acercando los puntos $x$ y $x_{0}$.

En resumen, la interpretación geométrica de la función derivada es: la función que nos devuelve la pendiente de la función original en cada punto.

Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones

Las reglas básicas que hay que conocer para derivar funciones tan complejas como uno quiera son:

1. $D[c]=0$, siendo c=cte.
2. $D[c\cdot f(x)]=c\cdot D[f(x)]$, siendo c=cte. y f(x) cualquier función.
3. $D[x^{n}]=n\cdot x^{n-1}$, siendo n=cte no nula.
4. $D[\sin(x)]=\cos(x)$
5. $D[\cos(x)]=-\sin(x)$
6. $D[\tan(x)]=1/\cos ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)$
7. $D[\ln(x)]=1/x$
8. $D[e^{x}]=e^{x}$

Y la regla de la cadena: $D[f(g(x))]=g'(x)\cdot f'(g(x))$

Aplicaciones de las derivadas

Dada una función $f(x)$ que es derivada de otra función $F(x)$

$f(x)=F'(x)$

$f(x)$ se anula en los puntos donde hay un máximo o un mínimo en la función primitiva, o sea en esos puntos cambia el crecimiento de la función $F(x)$

La derivada segunda $F''(x)$ (derivada de la derivada) se anula en los puntos en los cuales se encuentran puntos de inflexión en la función original,que es donde cambia la curvatura de la función $F(x)$

Ejemplos

Ejemplo #1

Consideremos la siguiente función:

$f(x)\,\!$

$=5\,\!$

Entonces:

$f'(x)\,\!$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(5)-(5)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {5-5}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {0}{h}}=0$

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

Ejemplo #2

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.

${\mathit {f}}(x)=3x-2\,$

${\mathit {f}}(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)-2\,$

${\mathit {f'}}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\mathit {f}}(x+\Delta x)-{\mathit {f}}(x)}{\Delta x}}$

Sustituir datos:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3(x+\Delta x)-2-(3x-2)}{\Delta x}}$

Desarrollar:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x+3\Delta x-2-3x+2}{\Delta x}}$

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3\Delta x}{\Delta x}}$

${\mathit {f'}}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}3=3$

Entonces, la derivada de la función ${\mathit {f}}(x)=3x-2\,$ es:

${\mathit {f'}}(x)=3\,$

Ejemplo #3

Encuentra la derivada de:

$g(x)={\sqrt {(1+2x)}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {1+2(x+h)}}-{\sqrt {1+2x}}}{h}}$

Racionalizando:

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {1+2(x+h)}}-{\sqrt {1+2x}}}{h}}*{\frac {{\sqrt {1+2(x+h)}}+{\sqrt {1+2x}}}{{\sqrt {1+2(x+h)}}+{\sqrt {1+2x}}}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1+2x+2h-1-2x}{h({\sqrt {1+2x+2h}}+{\sqrt {1+2x}})}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {2h}{h({\sqrt {1+2(x+h)}}+{\sqrt {1+2x}})}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {2}{{\sqrt {1+2(x+h)}}+{\sqrt {1+2x}}}}$

Calculamos el límite:

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {2}{{\sqrt {1+2(x+h)}}+{\sqrt {1+2x}}}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {2}{{\sqrt {1+2(x+0)}}+{\sqrt {1+2x}}}}$

$g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {2}{{\sqrt {1+2x}}+{\sqrt {1+2x}}}}$

$g'(x)={\frac {2}{2{\sqrt {1+2x}}}}$

$g'(x)={\frac {1}{\sqrt {1+2x}}}$

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

Ejemplo #4

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: $f(x)=x^{2}\,\!$

Entonces:

$f'(x)\,\!$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x$

Para cualquier punto x, la pendiente de la función $f(x)=x^{2}\,\!$ es $f'(x)=2x\,\!$.

Ejemplo #5

Sea $f\,$ la función $f(x)=2x^{3}+9x^{2}-24x+51\,$, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por $\mathbb {R} \,$). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

$f^{\prime }(x)=6x^{2}+18x-24$

Para encontrar el signo de $f^{\prime }(x)$, se tiene que factorizar:

${\begin{array}{rcl}f^{\prime }(x)&=&6(x^{2}+3x-4)\\&=&6(x+4)(x-1)\end{array}}$

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.

También se observa su segunda derivada:

$f''(x)=12x+18$

Dado que $f'(1)=0\,$ y $f''(1)>0\,$ entonces $f\,$ tiene un mínimo local en 1 y su valor es $f(1)=38\,$.

Dado que $f'(-4)=0\,$ y $f''(-4)<0\,$ entonces $f\,$ tiene un máximo local en -4 y su valor es $f(-4)=163\,$.

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de $x$ tales que $f'(x)=0\,$, los cuales son $x=1\,$ y $x=-4\,$, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que $f''(-4)<0\,$ entonces la derivada es negativa en el intervalo $(-4,1)\,$ por lo tanto la función es decreciente en el intervalo $[-4,1]\,$.

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo $[1,\infty )\,$ y en el intervalo $(-\infty ,-4]\,$.

Véase también

http://ballz.ababa.net/silvana/derivada.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node1.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html