Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos

Subgrupos Editar

Definición 1.14: Sea   un grupo. Se dice que   es un subgrupo de  , hecho que se representa por  , si   y si   es él mismo un grupo respecto de la operación de  .


Es claro que la identidad de   es la misma que la identidad de  , pues éste es el único elemento   de   que cumple  . También los inversos de los elementos de   son los mismos en   que en  .


Todo grupo   tiene al menos dos subgrupos, a saber,   mismo y el grupo  , llamado subgrupo trivial de  , que sólo contiene a la identidad de  . Cualquier otro subgrupo de   disitinto de   y   se dice subgrupo propio de  .


Teorema 1.15: Sea   un grupo y   con   no vacío. Entonces   si y sólo si   para cualesquiera   y   de  .

Demostración: La implicación es obvia. Si   es un subconjunto no vacío de   tal que   para todo  , entonces, en particular,   (el elemento   existe, pues   es no vacío). Luego también  . Además, puesto que  , la operación binaria de   es también operación binaria en  , lo que demuestra que   es un subgrupo de  .
 


Si   es un homomorfismo de grupos entonces   es un subgrupo de  . En efecto, pues si  , entonces

 



por lo que  , lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que  .


He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:

  1. Si   y  , entonces  .
  2. Si   y  , entonces  .

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio   de un grupo   se dice subgrupo maximal de   si   implica   o   para cualquiera que sea el conjunto  .