Matemáticas/Teoría de grupos/Homomorfismos

Homomorfismos

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Definición 1.10: Sean   y   dos grupos. Una aplicación   se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

 


para todo   ,   de  .


Es claro que si   y   son homomorfismos entonces   es un homomorfismo.


Teorema 1.11: Sean   y   dos grupos y   un homomorfismo. Se cumple que

  1. si   y   son las identidades de   y  , respectivamente, entonces  ;
  2. si   entonces  .


Demostración: En efecto, pues  , lo que implica  . Además,  , luego  .
 


Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo   en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo   en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos   y   se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por  . Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para   respecto de su operación de grupo vale también para   respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista   y   sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico   y   son el mismo objeto.

Sea   un grupo. Denotaremos por   al conjunto de todos los automorfismos del grupo  . Puede probarse que   es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.


Definición 1.12: Sean   y   dos grupos y sea   un homomorfismo entre ellos. El núcleo de   se define como el conjunto

 


donde   es la identidad de  .


Teorema 1.13: Sean   y   dos grupos cualesquiera. La aplicación   es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y  .


Demostración: Si   es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento   de   tal que  , y por el teorema 1.11, ese elemento es  , de modo que  . Recíprocamente, si   y  , entonces  , lo que implica  , luego   y así  , por lo que   es inyectiva y con ello un monomorfismo.
 


El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo   entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso   es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).