Matemáticas/Teoría de grupos/Homomorfismos

Homomorfismos

Definición 1.10: Sean $G$ y $H$ dos grupos. Una aplicación $f:G\longrightarrow H$ se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

$~f(ab)=f(a)f(b)$

para todo $a$ , $b$ de $G$.

Es claro que si $f:G\longrightarrow H$ y $g:H\longrightarrow K$ son homomorfismos entonces $g\circ f:G\longrightarrow K$ es un homomorfismo.

Teorema 1.11: Sean $G$ y $H$ dos grupos y $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo. Se cumple que

1. si $1_{G}$ y $1_{H}$ son las identidades de $G$ y $H$, respectivamente, entonces $f(1_{G})=1_{H}$;
2. si $a\in G$ entonces $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.

Demostración: En efecto, pues $f(1_{G})=f(1_{G}\cdot 1_{G})=f(1_{G})f(1_{G})$, lo que implica $f(1_{G})=1_{H}$. Además, $f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(1_{G})=1_{H}$, luego $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.

$\blacksquare$

Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos $G$ y $H$ se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por $G\cong H$. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para $G$ respecto de su operación de grupo vale también para $H$ respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista $G$ y $H$ sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico $G$ y $H$ son el mismo objeto.

Sea $G$ un grupo. Denotaremos por ${\mbox{Aut}}\ G$ al conjunto de todos los automorfismos del grupo $G$. Puede probarse que ${\mbox{Aut}}G$ es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.

Definición 1.12: Sean $G$ y $H$ dos grupos y sea $f$ un homomorfismo entre ellos. El núcleo de $f$ se define como el conjunto

$\ker f=\{a\in G\mid f(a)=1_{H}\},$

donde $1_{H}$ es la identidad de $H$.

Teorema 1.13: Sean $G$ y $H$ dos grupos cualesquiera. La aplicación $f:G\longrightarrow H$ es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y $~\ker f=1$.

Demostración: Si $f:G\longrightarrow H$ es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento $a$ de $G$ tal que $f(a)=1_{H}$, y por el teorema 1.11, ese elemento es $1_{G}$, de modo que $\ker f=\{1_{G}\}$. Recíprocamente, si $\ker f=\{1_{G}\}$ y $f(a)=f(b)$, entonces $1_{H}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})$, lo que implica $ab^{-1}\in \ker f$, luego $ab^{-1}=1_{G}$ y así $a=b$, por lo que $f$ es inyectiva y con ello un monomorfismo.

$\blacksquare$

El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo $f$ entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso $f$ es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).