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Grupos generados y grupos cíclicos

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Si   y   son dos subgrupos de un grupo  , es fácil ver que   es de nuevo un subgrupo de  . Más aún, si   es una familia de subgrupos de  , entonces   es también un subgrupo de  .


Definición 1.16: Sea   un grupo y  . Se llama subgrupo generado por   a la intersección de todos los subgrupos de   que contienen a  , y se representa por  . Es decir,

 



donde   es cualquier grupo que contenga al conjunto  . Cuando   sea un conjunto finito, digamos  , escribiremos también   en lugar de  .

Equivalentemente, tenemos que   se puede definir como el menor subgrupo de   que contiene a  .

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de  :


Teorema 1.17: Sea   un grupo y  . Defínase  . Entonces   es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de   o de  . En otras palabras,

 



Demostración: Sea  . Sean   y   elementos de  , de modo que

 



donde   o   y   o   para todo  . El hecho de que   se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que   es un grupo que además, como es claro, contiene a  , de modo que  , pero también es claro que   (pues los elementos de   y sus inversos están en  , luego cualquier producto entre ellos estará también en  ), por lo que termina siendo  .
 


El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.


Teorema 1.18: Sea   un grupo finito y  . Entonces

 



Demostración: Si   es finito, las potencias  ,  ,   de cualquier   de   no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros   tales que  , o sea que   (donde  ), de lo que se sigue   (con  ). Esto significa que todo elemento   de   tiene su inverso en  , pues éste puede expresarse como un producto de elementos de  .
 


Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que


Corolario 1.19: Sea   un grupo y  . Entonces

 


Definición 1.20: Si   es un grupo y   es un elemento de   tal que  , i.e. si   es generado por un sólo elemento suyo  , se diceque   es un grupo cíclico. Más en general, si   con cada   en  , se dice que   es un grupo finitamente generado.


Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo   generado por su unidad   (aunque también puede ser generado por  ). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

 .



cuyo generador es  . En general,   forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es  . Es muy fácil notar que   y   son isomorfos, siendo la aplicación  , dada por

 



el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo  , cuyos elementos son las clases de equivalencia   surgidas a partir de la relación de congruencia módulo   ( ) sobre  . Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden  .


Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo  , generado por   (o también por  ).


Archivo:Grupos ciclicos 1.svg

Figura:   genera al grupo multiplicativo  


El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las   raíces complejas de la unidad,  , es un grupo cíclico.


A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:


Teorema 1.21: Sea   un grupo y   un elemeno de  . Entonces, si  , el grupo   consiste de los elementos   y   si y sólo si  .


Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero   tal que  . Vemos entonces que los elementos   son todos distintos, pues si   con  , entonces   con  , pero hemos supuesto que   es el menor entero que cumple  . Luego vemos que  ,  ,  , etc., de modo que las potencias de   comienzan a repetirse a partir de   y así   con  . Además se observa que   para cualesquiera enteros   y  , de modo que   si y sólo si  .
 


Por el teorema anterior, tenemos que si   y  , entonces  .


Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo   son de la forma   y  , y

 



Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.


Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.


Demostración: Sea   un grupo cíclico. Si  , entonces existen dos posibilidades: que   sea trivial, en cuyo caso  , o que exista un entero positivo mínimo   tal que  . En este último caso, claramente  . Ahora bien, si  , entonces   es de la forma   pues   es un subgrupo de  , y por el algoritmo de la división tenemos que  , con   y  , o sea que

 



por lo que sólo puede ser   ya que hemos supuesto que   es el menor entero positivo para el cual  , así que todo elemento   de   es de la forma  , luego  , y así concluimos que  , lo que demuestra el teorema.
 


Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo   es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo   de   es de la forma  , donde, según el teorema anterior,   es el menor entero positivo de  .


Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito)   y los grupos aditivos (finitos) de la forma  .


Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo  , y todo grupo cíclico finito de orden   es isomorfo al grupo  .


Demostración: Sea   un grupo cíclico. La aplicación   dada por

 



es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

  1.  , en cuyo caso   es un isomorfismo por el teorema 1.13.
  2.   contiene un menor entero positivo  , y por el teorema 1.22,  , pues  . En este caso, podemos definir una aplicación   dada por
 



Esta aplicación está bien definida, pues   si y sólo si   (con   la unidad de  ), es decir, si y sólo si  , lo que equivale a que   (pues  ). Es claro que   es un epimorfismo de grupos. Pero   es además un monomorfismo de grupos, ya que   si y sólo si  , lo que equivale a  , luego  . Esto demuestra que   es un isomorfismo.
 


Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a   (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma   (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden  ), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son   y  , pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.