Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos generados y grupos cíclicos

Grupos generados y grupos cíclicos

Si $H$ y $K$ son dos subgrupos de un grupo $G$, es fácil ver que $H\cap K$ es de nuevo un subgrupo de $G$. Más aún, si $\{G_{i}\}_{i\in I}$ es una familia de subgrupos de $G$, entonces $\bigcap _{i\in I}G_{i}$ es también un subgrupo de $G$.

Definición 1.16: Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$. Se llama subgrupo generado por $S$ a la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$, y se representa por $\left\langle S\right\rangle$. Es decir,

$\left\langle S\right\rangle =\bigcap G_{i},$

donde $G_{i}$ es cualquier grupo que contenga al conjunto $S$. Cuando $S$ sea un conjunto finito, digamos $\{a_{1},\ldots a_{n}\}$, escribiremos también $\left\langle a_{1},\ldots a_{n}\right\rangle$ en lugar de $\left\langle S\right\rangle$.

Equivalentemente, tenemos que $\left\langle S\right\rangle$ se puede definir como el menor subgrupo de $G$ que contiene a $S$.

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de $\left\langle S\right\rangle$:

Teorema 1.17: Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$. Defínase $S^{-1}=\{a^{-1}\mid a\in S\}$. Entonces $\left\langle S\right\rangle$ es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de $S$ o de $S^{-1}$. En otras palabras,

$\left\langle S\right\rangle =\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\cup S^{-1}\}.$

Demostración: Sea $H=\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\cup S^{-1}\}$. Sean $a$ y $b$ elementos de $H$, de modo que

$a=a_{1}\cdots a_{n}\qquad {\mbox{y}}\qquad b=b_{1}\cdots b_{n},$

donde $a_{i}\in S$ o $a_{i}\in S^{-1}$ y $b_{i}\in S$ o $b_{i}\in S^{-1}$ para todo $i\in \{1,\ldots ,n\}$. El hecho de que $ab^{-1}\in H$ se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que $H$ es un grupo que además, como es claro, contiene a $S$, de modo que $\left\langle S\right\rangle \subseteq H$, pero también es claro que $H\subseteq \left\langle S\right\rangle$ (pues los elementos de $S$ y sus inversos están en $\left\langle S\right\rangle$, luego cualquier producto entre ellos estará también en $\left\langle S\right\rangle$), por lo que termina siendo $\left\langle S\right\rangle =H$.

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El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.

Teorema 1.18: Sea $G$ un grupo finito y $S\subseteq G$. Entonces

$\left\langle S\right\rangle =\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\}.$

Demostración: Si $G$ es finito, las potencias $a^{1}$, $a^{2}$, $a^{3},\ldots$ de cualquier $a$ de $G$ no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros $m>n$ tales que $a^{m}=a^{n}$, o sea que $a^{m-n}=1$ (donde $m-n>0$), de lo que se sigue $a^{m-n-1}=a^{-1}$ (con $m-n-1\geq 0$). Esto significa que todo elemento $a$ de $S$ tiene su inverso en $\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\}$, pues éste puede expresarse como un producto de elementos de $S$.

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Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que

Corolario 1.19: Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Entonces

$\left\langle g\right\rangle =\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}.$

Definición 1.20: Si $G$ es un grupo y $a$ es un elemento de $G$ tal que $\left\langle a\right\rangle =G$, i.e. si $G$ es generado por un sólo elemento suyo $a$, se diceque $G$ es un grupo cíclico. Más en general, si $\left\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\right\rangle =G$ con cada $a_{i}$ en $G$, se dice que $G$ es un grupo finitamente generado.

Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo $\mathbb {Z}$ generado por su unidad $1$ (aunque también puede ser generado por $-1$). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

$2\mathbb {Z} =\{2n\mid n\in \mathbb {Z} \}$.

cuyo generador es $2$. En general, $n\mathbb {Z} =\{nk\mid n\in \mathbb {Z} \}$ forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es $n$. Es muy fácil notar que $(n\mathbb {Z} ,+)$ y $(\mathbb {Z} ,+)$ son isomorfos, siendo la aplicación $f:n\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$, dada por

$f(nk)=k\qquad {\mbox{para todo}}\ k\in \mathbb {Z} ,$

el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo $\mathbb {Z} _{n}$, cuyos elementos son las clases de equivalencia $[1]\ldots [n]$ surgidas a partir de la relación de congruencia módulo $n$ ($\equiv \ ({\mbox{mod}}\ n)$) sobre $\mathbb {Z}$. Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden $n$.

Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo $\{-1,1,-i,i\}$, generado por $i={\sqrt {-1}}$ (o también por $-i$).

Archivo:Grupos ciclicos 1.svg

Figura: $~i$ genera al grupo multiplicativo $~\{-1,1,i,-i\}$

El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las $n$ raíces complejas de la unidad, $1$, es un grupo cíclico.

A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:

Teorema 1.21: Sea $G$ un grupo y $a$ un elemeno de $G$. Entonces, si $\left|\left\langle a\right\rangle \right|=m$, el grupo $\left\langle a\right\rangle$ consiste de los elementos $1,a,a^{2},\ldots ,a^{m-1}$ y $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $r\equiv s\ ({\mbox{mod}}\ m)$.

Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero $n$ tal que $a^{n}=1$. Vemos entonces que los elementos $1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}$ son todos distintos, pues si $a^{i}=a^{j}$ con $i<j<n$, entonces $a^{j-i}=1$ con $0<j-i<n$, pero hemos supuesto que $n$ es el menor entero que cumple $a^{n}=1$. Luego vemos que $a^{n}=1$, $a^{n+1}=a$, $a^{n+2}=a^{2}$, etc., de modo que las potencias de $a$ comienzan a repetirse a partir de $a^{n-1}$ y así $\left\langle a\right\rangle =\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\}$ con $n=m=\left|\left\langle a\right\rangle \right|$. Además se observa que $a^{km+r}=a^{km}a^{r}=(a^{m})^{k}a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}=a^{r}$ para cualesquiera enteros $k$ y $r$, de modo que $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $r\equiv s\ ({\mbox{mod}}\ m)$.

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Por el teorema anterior, tenemos que si $\left|\left\langle a\right\rangle \right|=m$ y $a^{n}=1$, entonces $m\mid n$.

Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo $\left\langle a\right\rangle$ son de la forma $a^{r}$ y $a^{s}$, y

$a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}=a^{s+r}=a^{s}\cdot a^{r}.$

Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.

Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración: Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo cíclico. Si $H\leq G$, entonces existen dos posibilidades: que $H$ sea trivial, en cuyo caso $H=\langle 1\rangle$, o que exista un entero positivo mínimo $n$ tal que $a^{n}\in H$. En este último caso, claramente $\langle a^{n}\rangle \subseteq H$. Ahora bien, si $h\in H$, entonces $h$ es de la forma $a^{m}$ pues $H$ es un subgrupo de $G$, y por el algoritmo de la división tenemos que $a^{m}=a^{nq+r}=a^{nq}a^{r}$, con $q,r\in \mathbb {Z}$ y $0\leq r<n$, o sea que

$a^{r}=a^{-nq}a^{m}\in H,$

por lo que sólo puede ser $r=0$ ya que hemos supuesto que $n$ es el menor entero positivo para el cual $a^{n}\in H$, así que todo elemento $h$ de $H$ es de la forma $a^{qn}$, luego $H\subseteq \langle a^{n}\rangle$, y así concluimos que $H=\langle a^{n}\rangle$, lo que demuestra el teorema.

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Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo $\mathbb {Z}$ es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo $H$ de $\mathbb {Z}$ es de la forma $n\mathbb {Z}$, donde, según el teorema anterior, $n$ es el menor entero positivo de $H$.

Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito) $\mathbb {Z}$ y los grupos aditivos (finitos) de la forma $\mathbb {Z} _{n}$.

Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo $(\mathbb {Z} ,+)$, y todo grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo al grupo $(\mathbb {Z} _{n},+)$.

Demostración: Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo cíclico. La aplicación $\mathbb {Z} \longrightarrow G$ dada por

$f(n)=a^{n}$

es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

1. $\ker f=0$, en cuyo caso $f$ es un isomorfismo por el teorema 1.13.
2. $\ker f$ contiene un menor entero positivo $n$, y por el teorema 1.22, $\ker f=n\mathbb {Z}$, pues $\ker f\leq \mathbb {Z}$. En este caso, podemos definir una aplicación $g:\mathbb {Z} _{n}\longrightarrow G$ dada por

$g\left([n]\right)=a^{n}.$

Esta aplicación está bien definida, pues $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $a^{r-s}=1_{G}$ (con $1_{G}$ la unidad de $G$), es decir, si y sólo si $r-s\in \ker f=n\mathbb {Z}$, lo que equivale a que $[r]=[s]\in \mathbb {Z} _{n}$ (pues $n\mid (r-s)$). Es claro que $g$ es un epimorfismo de grupos. Pero $g$ es además un monomorfismo de grupos, ya que $g\left([a]\right)=1_{G}=a^{0}$ si y sólo si $a^{k}=a^{0}$, lo que equivale a $[a]=[0]$, luego $\ker f=[0]$. Esto demuestra que $g$ es un isomorfismo.

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Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a $(\mathbb {Z} ,+)$ (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma $(\mathbb {Z} _{n},+)$ (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden $n$), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son $(\mathbb {Z} ,+)$ y $(\mathbb {Z} _{n},+)$, pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.