Matemáticas/Teoría de anillos/Ideales y Divisibilidad

Un ideal es una subestructura algebraica definida en la teoría de anillos. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el teorema chino del resto o el teorema fundamental de la aritmética, válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de subgrupo normal para la estructura algebraica de grupo en el sentido de que facilita definir la noción de anillo cociente como una extensión natural de la noción de grupo cociente [1].

Definición

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Un subconjunto   no vacío de un anillo   es un ideal por la izquierda de A si:

  1. I es un subgrupo aditivo de A.
  2.   (El producto por la izquierda de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

y es un ideal por la derecha de A si:

  1. I es un subgrupo aditivo de A.
  2.   (El producto por la derecha de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

Un ideal bilátero es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal.

Ejemplos

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  • Para todo entero relativo  ,   es un ideal de  .
  • Si A es un anillo, {0} y A son ideales triviales de A. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará ideal propio a todo ideal no trivial.
  • Si A es un anillo unitario y si   es un ideal que contiene a 1 entonces  . De modo más general, si,   contiene un elemento inversible, entonces  
  • Los únicos ideales en un cuerpo   son los ideales triviales.

Operaciones con ideales

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Si I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puede comprobar que el conjunto   es un ideal.

Demostración: Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que I+J es subgrupo del grupo aditivo de A, i.e.,  , y en segundo lugar tendremos que comprobar que  .

  • En primer lugar, sea   tales que  . Como   son ideales, entonces son subgrupos de   y por ende,  , de manera que   es un elemento del conjunto  . Ergo,  , por lo tanto   es subgrupo de  .
  • En segundo lugar, sea  . Por ser   ideales de A se tiene que  . De este modo,  . Dado que   y lo análogo para  , se tiene que  .
Con esto queda demostrado que era correcta la afirmación enunciada.

Intersección

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Toda intersección de ideales es un ideal.

Demostración: Sea una familia de ideales  , queremos comprobar que   es ideal:

  • Comprobemos que es subgrupo del grupo aditivo  . Sean  , entonces se tiene que  . Como los   son ideales, entonces  , por lo que a su vez se tiene que  . Por consiguiente I es subgrupo de  .
  • Comprobemos ahora que  . Supongamos que  . Ahora bien, como los   son ideales, sabemos que  . Por consiguiente  .
Queda con esto demostrado el aserto anterior, i.e.,   es ideal, siendo   una familia arbitraria de ideales de A.

El conjunto de los ideales de A con estas dos operaciones forma una cadena. De esta segunda ley se permite la noción de ideal generado. Si P es un subconjunto de un anillo A, se llama ideal generado por P a la intersección de todos los ideales de A que contienen a P, notado usualmente como  . Se puede comprobar que:

  1.  
  2.  

Ejemplos:

  • Para un anillo  , aA engendra el ideal   (por ejemplo n engendra  , ideal de  )
  • Si I y J son dos ideales de A, el ideal   está engendrado por el subconjunto   de A.

Producto

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Si I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto de I y J al ideal   engendrado por todos los elementos de la forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Se tiene que  .

Como ejemplo, en el anillo   , el producto de los ideales   y   es el ideal   y este último está incluido en  .

Anillo cociente

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Si I es un ideal bilátero del anillo A, la relación   es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases   una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases se define por (a +I) +º (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto -º(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ׺ (b+I)= ab + I. [2]

Casos particulares

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Ideal principal: es un ideal generado por un único elemento.

Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es primario si y solo si para todo a y b tales que   , si   entonces existe un entero natural n tal que  .

Ideal primo: en un anillo conmutativo unitario, I es un ideal primo si y solo si I es distinto de A y, para todo a y b pertenecientes a A tales que  , si   entonces  .

  es un ideal primo de     es dominio de integridad.

Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales J y K diferentes de I.

Ideal maximal : Un ideal   es maximal   existen exactamente dos ideales que contienen a  , a saber,   y el mismo  .

En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.
el ideal   es un ideal maximal de   si y solo si   es un cuerpo.

Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmutativo A, se llama radical de I, y se escribe   , al conjunto de los elementos x de A tales que existe un entero natural n para el cual  . Es un ideal de A.

Ejemplo:   es el radical de  
Si   es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:
  •  
  •  
  •  
  • Si, además,   es unitario,  
  1. A.I. Kostrikin. «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú (1983)
  2. Kostrikin. Op. cit.