Regla de derivación general:
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Derivada de una suma:
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Derivada de un producto:
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Derivada de un cociente:
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Derivada de una constante
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Regla de la cadena:
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Resultados previos utilizados
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Linealidad
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Regla de Leibniz
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Regla de la cadena
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Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.
Sea
Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a .
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Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.
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Por definición de logaritmo natural tenemos que:
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Efectuamos el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:
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Dado que
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Sustituyendo en la penúltima expresión:
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Funciones trigonométricas
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- El primer límite que emplearemos es:
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Demostración
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
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Elevando al cuadrado y dividiendo por x:
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De modo que tenemos:
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El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
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Demostración
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
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Dividiendo por sin(x) tenemos:
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Aplicando límite a los tres términos:
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Obteniendo:
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Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
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Separando en dos límites
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El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
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El procedimiento será análogo al anterior.
Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:
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Separando en dos límites
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El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
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La tangente viene definida como:
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Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).
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Funciones trigonométricas inversas
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Por definición de arcoseno:
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Efectuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
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Teniendo en cuenta que:
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Sustituyendo
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Por definición de arcocoseno:
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De nuevo efecttuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
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Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):
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Sustituyendo
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Por definición de arcotangente:
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Efectuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
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Teniendo en cuenta que:
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Sustituyendo
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