Matemáticas/Matrices/Regla de Cramer/Cálculo de Determinantes

Matrices de orden inferior

El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}\end{pmatrix}}$

El valor del determinante es igual al único termino de la matriz:

$\det A=\det {\begin{pmatrix}a_{11}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{1,1}$

Los determinantes de una matriz de orden 2:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

se calculan con la siguiente fórmula:

$\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}$

Dada una matriz de orden 3:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$

En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus o regla de Cramer:

$\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=$

$=\;a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-(a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}+a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2})$