Matemáticas/Matrices/Multiplicación de matrices

Producto de una matriz fila por una matriz columna

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Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

Sean   y  

 

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

El producto de las matrices A y B (A×B) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es: c = a1×b1 + a2×b2 + ... + an×bn.


 

Dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz  . O sea una matríz de un sólo elemento, el valor 27.

Producto de matrices

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Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M(m*n) * M(n*p) = M(m*p); Y ademas m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo: A•B =   

  es igual a

  [C(3*3)]; matriz resultante de 3*3



Producto en General

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Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices   y   dando como resultado la matriz  .

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que   se puede representar como   donde   es la representación de un vector de   en la base que se ha elegido para   en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales   y   entonces   y  , luego la aplicación   se representará como   donde   es el producto de las representaciones matriciales de  . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de  , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.

Sean   y  . Se define el producto de matrices como una función   tal que   y donde   para toda  , es decir  . Por ejemplo, la entrada  .

Veamos un ejemplo más explícito. Sean   y  

 
 

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz  .

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si   no tiene el mismo número de columnas que   de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que   tenga el mismo número de columnas que   de filas para que   exista.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

Propiedades

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Sean   matrices con entradas en  , donde   es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)

Asociatividad

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A • (B • C) = (A • B) • C

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si  ,   y   por lo que   donde   debido a que   para todo  . Aquí estamos considerando que   es  ,   es   y   es  .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha

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Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que   debido a que   para todo  . Aquí estamos considerando que   es  ,   es   y   es  .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

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Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que   debido a que   para todo  . Aquí estamos considerando que   es  ,   es   y   es  .


El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos   tendremos que el producto entre matrices en   también está en  . En ese caso   además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces   además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún   con   el producto de matrices es un anillo.


Elemento neutro

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A • I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

Anticonmutativa

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En general, y salvo casos muy especiales, el producto de dos matrices no es conmutativo.

A • B ≠ B • A