Matemáticas/Matrices/Determinantes

Definición general de determinante

Llámese determinante de una matriz cuadrada de tercer grado a la suma de los productos de los elementos que pertenezcan a columnas y filas diferentes.

Definición previa

Permutación

Disposición ordenada de todos los elementos disponibles, sin repetirse e intercambiando lugares.

Inversión de una permutación

a) Dadas dos permutaciones de los mismos elementos, si dos elementos de la segunda permutación, independiente de los demás, están en el mismo orden que en la primera, se llama en sucesión, si están en orden inverso, en inversión.
Ejemplo 1; 2 ; 3; 4 : 5 y 1 ; 3 ; 4 ; 2 ; 5 en la segunda permutación de los cinco primeros naturales, el 3 con el 2 está en inversión, y el 4 con el 2 está en inversión con respecto a la permutación original, los demás (p.ej. El 3 con el 5, el 1 con el 4) están en sucesión. O sea en este ejemplo se observan solamente dos inversiones.
b) se llama permutación principal a la ordenación natural de los números 1 2 3 4 5 6 ...
c) Una permutación es de clase par o impar, si el número de sus inversiones con respecto a la permutación principal es par o impar.

Determinante

Llámese determinante de una matriz de n-ésimo grado al polinomio formado por todos los productos posibles de los n elementos que componen la matriz, de tal manera que cada sumando contenga un factor de cada fila y otro de cada columna y asignándole el signo positivo o negativo según que la permutación sea par o impar, respectivamente.

Ley de Formación

Para formar el desarrollo de A, de una matriz cuadrada de orden n, procederemos de la siguiente manera: Tomaremos como término principal al que tiene la pareja de índices en el orden de los números y manteniendo fijo los subíndices de las filas permutamos los subíndices de las columnas, precediendo a cada término del signo positivo o negativo según la permutación sea de orden par o impar, de acuerdo con la definición dada anteriormente.
No podrá haber ningún términ repetido, ni podrán faltar ninguno.
Todos los producto contienen la misma cantidad de factores.

El término principal  : $a_{1}^{1}...a_{2}^{2}...a_{3}^{3}...a_{4}^{4}......a_{n}^{n}$ es el que corresponde a la diagonal principal; esta es la que tiene como primer término, el primero de la izquierda superior y como último el inferior derecho.
También es observable que la pareja de valores de subíndice son iguales para columna que para fila.

Cálculo de determinantes: Regla de Cramer

Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de 2x2, se utiliza la regla de Cramer. El determinante es la diferencia de la diagonal principal menos la diagonal secundaria. a_11 x a_22 – a_21 x a_12