Matemáticas/Matrices/Adición y Sustracción de matrices

Conceptos previos

Se define como operación binaria aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Condiciones

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí. La condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan la misma cantidad de filas y de columnas. Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

Suma o adición

Sean $A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )$. Se define la operación de adición de matrices como una operación binaria $+:{\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )\times {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )\longrightarrow {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb {K}$. Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$.

Siendo $A_{n*m}yB_{n*m}$, que pertenecen a los números Reales.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{11}&d_{12}\\d_{21}&d_{22}\end{bmatrix}}$

Algo mas general se puede describir como:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{1n}&\cdots &b_{nm}\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&\cdots &a_{1m}+b_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}+b_{1n}&\cdots &a_{nm}+b_{nm}\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&\cdots &a_{1m}-b_{1m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}-b_{1n}&\cdots &a_{nm}-b_{nm}\end{bmatrix}}$

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {R} )$

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+1&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades de la Adición de matrices

Para poder sumar dos o más matrices deben tener el mismo tamaño, la misma cantidad de columnas y de filas. Propiedades:

1. Cerrada: La suma de dos matrices resulta otra matriz de igual tamaño.
2. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3. Neutro: Existe una matriz O, con todos sus elementos de valor cero tal que A + O = O + A = A
4. Simétrico: Cada matriz A, posee su matriz simétrica A' tal que A + A' = A' + A = O

Los elementos de A' son de valor opuesto que sus correspondientes de la matriz A

1. Conmutativa: A + B = B + A

Sustracción

Se puede definir la sustracción entre dos matrices $A-B$ como la suma de la primera con la opuesta (simétrica aditiva) de la segunda.$A+B'$