Matemáticas/Lógica/Cuantificador

Definiremos los Cuantificadores, elementos matemáticos importantes para la continuación en el estudio de la lógica proposicional.

Objetivos

• Conocer los cuantificadores universal y existencial
• Aplicar los cuantificadores para la determinación de validez de oraciones

Cuantificadores

A diferencia de las proposiciones simples, las proposiciones compuestas y los argumentos, existen enunciados que se llaman abiertos, pues no pueden, a priori, ser relacionados con un valor de verdad verdadero o falso.

Por ejemplo, el enunciado $x>3$ no es ni verdadero ni falso. Entonces, es un enunciado abierto.

Cuando la variable $x$ es reemplazada por ciertos valores, podemos darle un valor de verdad.

• Si $x=7$, el enunciado es una proposición con valor de verdad verdadero.
• Si $x=3$, el enunciado es una proposición con valor de verdad falso.

Conjunto de Verdad

La colección de objetos que al emplearlos en lugar de las variables en un enunciado abierto, hacen que éste se convierta en una proposición verdadera, se llama conjunto de verdad del enunciado.

Antes de determinar el conjunto de verdad de un enunciado es necesario saber cuáles objetos están disponibles para tomados en cuenta. Es decir, debemos haber especificado un universo de discurso.

Por ejemplo, para le enunciado $P(x):x^{2}=4$, si tomamos el conjunto universo como el conjunto de los números reales, entonces el conjunto de verdad de $P(x)$ es el conjunto $\{-2,2\}$

En cambio, si para el mismo enunciado consideramos el conjunto universo como el conjunto de los números naturales, entonces el conjunto de verdad para $P(x)$ es el conjunto $\{2\}$.

También, si consideramos el conjunto universo como los números impares, entonces el conjunto de verdad para el enunciado $P(x)$ es el conjunto vacío, denotado por el símbolo $\varnothing$.

De esta manera, un enunciado $P(x)$ se convierte en una proposición cuando la variable $x$ toma un valor determinado $a$.

Introduciremos, entonces, lo que es un cuantificador, que usaremos como herramienta para modificar un enunciado $P(x)$ en una proposición $P(a)$.

Para un enunciado $P(x)$, con $x$ variable, tenemos dos casos:

• El enunciado $\forall x,P(x)$ se lee ``para todo $x,P(x)$´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para $P(x)$ es el conjunto universo completo.

El símbolo $\forall$ se llama cuantificador universal.

• El enunciado $\exists ,P(x)$ se lee ``existe $x$ tal que $P(x)$´´, y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad para $P(x)$ no es vacío (es decir, existe al menos un elemento que cumple con el enunciado).

El símbolo $\exists$ se llama cuantificador existencial.

Ejemplos

1. El enunciado $\exists x,x>3$ es verdadero, pues al menos un valor de $x$ en los números reales cumple tal afirmación. Tomar, por ejemplo, $x=4$.
2. El enunciado $\forall x,x>3$ es falso, pues en los números reales no todos los números son mayores que 3. Por ejemplo, considerar el valor $x=2$.
3. El enunciado $\exists x,x^{2}=-1$ es falso, pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado pueda dar un valor negativo.
4. El enunciado $\forall x,x+2>2$ es verdadero, pues siempre el lado izquierdo de la inecuación será mayor que el lado derecho, independiente del valor que tome $x$.

Un cuantificador especial

Para un enunciado abierto $P(x)$, la proposición $\exists !x,P(x)$ se lee existe un único $x$ tal que $P(x)$.

Tal enunciado es verdadero cuando el conjunto de verdad consta exactamente de un elemento.

Por ejemplo, la proposición $\exists !x,x$ es número primo par es verdadera, pues en el universo de los números reales, el único número primo par es el número 2.

Negación de Cuantificadores

Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera

• $\sim (\forall x,P(x))\equiv \exists x,\sim P(x)$
• $\sim (\exists x,P(x))\equiv \forall x,\sim P(x)$

Por ejemplo, si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el enunciado

$\exists x,x>3$

la negación sería

$\forall x,x\leq 3$

Los cuantificadores señalan el número de elementos del dominio cumplen la proposición,

Para todo

Se usa el símbolo $\forall \,$ llamado cuantificador universal, para reemplazar la frase para todo, dicho símbolo expresará que la proposición debe ser verdadera para todos los valores de la variable:

$\forall x\in D\,:\;p(x)$

Para todo x de D se cumple p(x).

• Que significa que la proposición p(x) debe ser verdadera para toda x en su dominio.
• Esta expresión es a su vez una nueva proposición por lo cual debe poseer un valor de verdad.
• Esta proposición será falsa si al menos un elemento x del dominio hace que p(x) sea falsa.
• A pesar de que en la proposición interviene la variable x, esta proposición no es abierta.

Existe

El cuantificador de existencia, representado: $\exists$, con el significado exise, la proposición a de ser verdadera cuando menos en un caso:

$\exists x\in D\,:\;p(x)$

Existe x de D que cumple p(x).

• Que significa que la proposición p(x) es verdadera cuandomenos para un valor de x del dominio.
• Esta proposición será falsa si para ningun elemento x del dominio se cumple p(x).

Existe un unico

Existe un unico, representado: $\exists !$, que significa existe un unico, la proposición ha de ser cierta para un unico caso de la variable:

$\exists !x\in D\,:\;p(x)$

Existe un unico x de D que cumple p(x).

• Esta proposición solo es cierta si uno y solo un x cumple la proposición.