Matemáticas/Lógica/Conectivos Lógicos y tablas

Definiremos los conectivos lógicos que permiten relacionar proposiciones simples para convertirlas en proposiciones compuestas.

Analizaremos las tablas de verdad asociadas a cada conectivo, para desarrollar ejemplos usando sus propiedades.

Objetivos

• Conocer y entender los conectivos lógicos
• Conocer y entender las tablas de verdad
• Aplicar las propiedades y resultados de los conectivos lógicos para resolver problemas

Proposiciones simples y compuestas

Recordamos que una proposición es una oración declarativa a la cual se le puede asociar un valor de verdad.

Para representar proposiciones usaremos las letras p, q, r,...

Por ejemplo

p = el sol brilla todo el día
q = hace frío

son proposiciones simples.

Así como en álgebra las variables que representan cantidades pueden formar expresiones más complejas mediante el uso de las operaciones básicas de aritmética y algunas funciones, en lógica podemos relacionar proposiciones mediante los conectivos lógicos.

Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas.

Los conectivos lógicos que usaremos son

• ~ negación
• $\vee$ disyunción
• $\wedge$ conjunción
• $\rightarrow$ condicionante
• $\leftrightarrow$ bicondicionante

Tabla de Verdad

Definimos una tabla de verdad como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes:

Negación

La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso.

La tabla de verdad para el conectivo ~ está dada por

p	~p
V	F
F	V

Disyunción

La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo $\vee$.

Esta proposición compuesta de denota por $p\vee q$ y se lee p o q.

La tabla de verdad para el conectivo $\vee$ está dada por

p	q	$p\vee q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta $p\vee q$ tenga valor de verdad verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero.

Conjunción

La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo $\wedge$.

Esta proposición compuesta de denota por $p\wedge q$ y se lee p y q.

La tabla de verdad para el conectivo $\wedge$ está dada por

p	q	$p\wedge q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Se puede ver que para que una proposición compuesta $p\wedge q$ tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero.

Condicionante

La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo $\rightarrow$.

Esta proposición compuesta de denota por $p\rightarrow q$ y se lee p implica q.

En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.

La tabla de verdad para el conectivo $\rightarrow$ está dada por

p	q	$p\rightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Se puede ver que una proposición compuesta $p\rightarrow q$ tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero.

Bicondicionante

La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo $\leftrightarrow$.

Esta proposición compuesta se denota por $p\leftrightarrow q$ y se lee p si y solo si q.

La tabla de verdad para el conectivo $p\leftrightarrow q$ está dada por

p	q	$p\leftrightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Se puede ver que la proposición compuesta $p\leftrightarrow q$ tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.

Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse para formar proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus formas más simples.

Para hacer la tabla de verdad de una proposición le asignamos una columna a cada proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones componentes.

El número de filas de la tabla viene dado por la potencia $2^{n}$, donde $n$ es el número de proposiciones en la forma más simple que forman la proposición compuesta dada.

Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones simples, se procede de la forma siguiente:

• la primera columna se llena asignando valores V a la mitas de las filas y valores F a la mitad siguiente.
• la segunda columna se llena asignando valores V a un cuarto de las filas, valores F al segundo cuarto, valores V al tercer cuarto y valores F al último cuarto de filas de esa columna.
• la tercera columna se llena asignando valores V a un octavo de las filas, valores F al segundo octavo, valores V al tercer octavo, etc.

Así, se continúa hasta que terminen las columnas de las proposiciones simples. Las columnas de las otras proposiciones se llenan a partir de las columnas de las proposiciones simples, usando las tablas de verdad definidas antes.