Ecuaciones en coordenadas cartesianas
Descripcion de análisis de hiperbola Para obtenerla se debe de hacer un análisis de una diferencia de distancia entre dos puntos que serán los focos de la parábolas (deben ser los puntos de la misma doble distancia del eje de rotación) y un punto cualquiera de la hipérbola, cuya equivalencia sería 2a.
F
P
−
F
P
′
=
2
a
{\displaystyle FP-FP'=2a}
(
x
+
c
)
2
+
(
y
−
0
)
2
−
(
x
−
c
)
2
+
(
y
−
0
)
2
=
2
a
{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}=2a}
Se procede a eliminar las radicales con los despejes siguientes:
(
x
+
c
)
2
+
y
2
=
2
a
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
2
=
(
2
a
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}})^{2}=(2a+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}})^{2}}
(
x
+
c
)
2
+
y
2
=
4
a
2
+
4
a
(
x
−
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle (x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}}
x
2
+
2
c
x
+
c
2
+
y
2
=
4
a
2
+
4
a
(
x
−
c
)
2
+
y
2
+
x
2
−
2
c
x
+
c
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}}
x
2
+
2
c
x
+
c
2
+
y
2
−
x
2
+
2
c
x
−
c
2
−
y
2
=
4
a
2
+
4
a
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}-x^{2}+2cx-c^{2}-y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
4
c
x
=
4
a
2
+
4
a
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle 4cx=4a^{2}+4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
4
c
x
−
4
a
2
=
4
a
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle 4cx-4a^{2}=4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
c
x
a
−
a
=
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {cx}{a}}-a={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
(
c
x
a
−
a
)
2
=
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle ({\frac {cx}{a}}-a)^{2}=({\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}})^{2}}
(
c
x
a
−
a
)
2
=
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle ({\frac {cx}{a}}-a)^{2}=({\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}})^{2}}
c
2
x
2
a
2
−
2
c
x
+
a
2
=
x
2
−
2
c
x
+
c
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}-2cx+a^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}}
c
2
x
2
a
2
+
a
2
−
x
2
−
c
2
−
y
2
=
0
{\displaystyle {\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}+a^{2}-x^{2}-c^{2}-y^{2}=0}
c
2
x
2
a
2
−
x
2
−
y
2
=
c
2
−
a
2
{\displaystyle {\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}-x^{2}-y^{2}=c^{2}-a^{2}}
c
2
x
2
a
2
−
x
2
−
y
2
=
c
2
−
a
2
{\displaystyle {\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}-x^{2}-y^{2}=c^{2}-a^{2}}
c
2
−
a
2
a
2
x
2
−
y
2
=
c
2
−
a
2
{\displaystyle {\frac {c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}x^{2}-y^{2}=c^{2}-a^{2}}
x
2
a
2
−
y
2
c
2
−
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1}
Si se proyecta por Teorema de Pitágoras al relacionar el eje mayor con el menor con la distancia del foco.
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
b
2
=
c
2
−
a
2
{\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)\,}
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Cuando el Eje Mayor corresponde a y:
x
2
b
2
−
y
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1}
Ecuación de una hipérbola con centro en un punto distinto a cero
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)\,}
(
x
−
h
)
2
a
2
−
(
y
−
k
)
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}
Cuando el Eje Mayor corresponde a y:
(
x
−
h
)
2
b
2
−
(
y
−
k
)
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1}
Ejemplos:
a)
(
x
)
2
25
−
(
y
)
2
9
=
1
{\displaystyle {\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1}
b)
(
y
)
2
9
−
(
x
)
2
25
=
1
{\displaystyle {\frac {(y)^{2}}{9}}-{\frac {(x)^{2}}{25}}=1}
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
