Matemáticas/Geometría Analítica/Coordenadas/Coordenadas Polares

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Representación de puntos con coordenadas polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( $r$ , θ) se puede representar como ( $r$ , θ ± $n$ ×360°) o (− $r$ , θ ± (2 $n$ + 1)180°), donde $n$ es un número entero cualquiera.^[1]
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.^[2] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar $r$ a números no negativos $r$ ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).^[3]

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.^[4]

Conversión de coordenadas

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo $\theta$ del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo $\theta$ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

x=r\cos \theta \,

y=r\operatorname {sen} \theta \,

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

(aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para $r$ = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para $r$ ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( $\arctan$ denota la inversa de la función tangente):

\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0{\text{ y }}y\geq 0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\text{si }}x>0{\text{ y }}y<0\end{cases}}

Para obtener $\theta$ en el intervalo $(-\pi ,\pi ]$ , se considera que $\arctan {\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}\in {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$ es una función creciente en su dominio:

\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y<0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0\end{cases}}

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

Referencias

↑ «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13 de abril de 2006). Consultado el 11 de enero de 2009.
↑ David Cohen, Theodore Lee; David Sklar (2005). Thomson Brooks/Cole. ed. Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Cuarta Edición edición). ISBN 0534402305.
↑ Ian Stewart; David Tall (1983). Cambridge University Press. ed. Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634.
↑ Raymond A. Serway; John W. Jewett, Jr. (2005). Brooks/Cole—Thomson Learning. ed. Principles of Physics. ISBN 0-534-49143-X.

[1] «Polar Coordinates and Graphing» (PDF) (13 de abril de 2006). Consultado el 11 de enero de 2009.

[2] David Cohen, Theodore Lee; David Sklar (2005). Thomson Brooks/Cole. ed. Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Cuarta Edición edición). ISBN 0534402305.

[3] Ian Stewart; David Tall (1983). Cambridge University Press. ed. Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634.

[4] Raymond A. Serway; John W. Jewett, Jr. (2005). Brooks/Cole—Thomson Learning. ed. Principles of Physics. ISBN 0-534-49143-X.

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