Matemáticas/Geometría/Analítica en el plano/La Recta/Tres puntos alineados

Condición de alineación de tres puntos

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Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos  (  ,  ),  (  ,  ),  (  ,  ) pertenecientes a una recta   no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean  ',  ' y  ' las proyecciones ortogonales sobre el eje   de los puntos  ,   y  , y  ",  " y  " las proyecciones ortogonales sobre el eje   de los puntos  ,   y  . Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
Como las rectas (  '), (  ') y (  ') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes   y   resulta:

 


De igual forma, las rectas (  "), (  ") y (  ") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes   y   Resulta :

 


En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:

 


Considerando el orden de los puntos de la recta  , se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:

 

ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta  .

Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación : 

quedará como :  
Lo anterior es equivalente a: