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El Isomorfismo

El término isomorfismo quiere decir igual forma, con ello se busca destacar la idea según la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas.
La palabra isomórfico se refiere entonces a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestión y suele ser primordial en su adecuada comprensión. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas.

Isomorfismo entre las rectas orientadas (con un origen) y los números reales

Para toda recta orientada ${\vec {r}}$ y para cada punto O de ella, existe una función biyectiva $f:{\vec {r}}$ → R que cumple con las siguientes propiedades:

1. La imagen del punto O es el número cero: $f(O)=0$
2. Para todo par de puntos A y B de la recta se cumple que si A precede a B, entonces el real $f(A)$ es menor que el real $f(B)$, y si A = B entonces los reales $f(A)$ y $f(B)$ son iguales.

• Para todo par de puntos de la recta orientada ${\vec {r}}$ la distancia entre ellos es igual al valor absoluto de la diferencia de sus valores funcionales: $d(A,B)=|f(A)-f(B)|$

Observaciones

• La función f se denomina isomorfismo y nos permite asociar a cada punto de la recta orientada un número real y viceversa. por lo tanto se puede identificar una recta orientada con origen a la estructura ordenada de los números reales.
• Al número f(P), imagen del punto P en la función anterior, se le denomina abscisa del punto con respecto al eje ${\vec {r}}$ con origen en O, y es común designarlo con la notación $f(x)=x_{p}$.
• La distancia entre un punto P cualquiera de la recta y el origen O, es igual al valor absoluto de su abscisa. en efecto;
  

$d(O,P)=|f(P)-f(O)|=|x_{p}-0|=|x_{p}|$

• Todo punto A perteneciente a la recta orientada, tal que el origen preceda a dicho punto, tiene abscisa positiva. Sea A, tal que O precede a A, entonces por la segunda observación, se cumple que $f(O)<f(A)=>0<x_{A}$ .

• De igual forma, todo punto B perteneciente a la recta orientada, que precede al origen, tiene abscisa negativa. Sea B, tal que B precede a O, entonces por la segunda observación, se cumple que $f(B)<f(O)=>x_{B}<0$ .