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Operaciones (Matemáticas)

Definición de Operación

Definición 2.1. Sea E un conjunto no vacío. Llamamos operación (binaria) en E a una función de E x E --> E.

Es decir que una operación en un conjunto E asigna a cada par de elementos de E, otro (no necesariamente distinto) elemento de E. Por tradición, si * es una operación en E, al eleemnto que * asigna al para (a,b) de E x E se simboliza por a * b; esto es, el símbolo de la operación se colca entre los argumentos de la función, que se llamsn los operandos. Tradicionalemente, los símbolos más usados, en álgebra, para operaciones son +, •, -, ÷, *, etc.

Ejemplos 1.

a. La adición, sustracción y multiplicación son operaciones en el conjunto de los números enteros, $\mathbb {Z}$;.

b. Las operaciones del mismo nombre son operaciones en los Racionales, $\mathbb {Q}$; igual situación tenemos en los Reales, $\mathbb {R}$;.

Observemos que es necesario especificar como diferentes la adición en Los Enteros, de la adición en los Racionales y de la adición de los Reales, ya que por la definición dada son diferentes, ya que sus dominios como funciones son diferentes. Aunque en rigor debiéramos usar nombre y símbolos diferentes para cosas diferentes, la costumbre hace que usemos el mismo nombre y símbolo en esos casos. Tal situación no produce problemas cuando nos interesan los resultados específicos de una de esas operaciones, ya que producen el ``mismo resultados; sin embargo, más adelante, veremos que hay diferencias algebraicas entre ellas.

Ejemplos 2. Sea X un conjunto cualquiera y sea E el conjunto de los subconjuntos de E. La (re)union y la intersección de subconjuntos son operaciones en E.

Ejemplo 3. Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea E el conjunto de todas las funciones de E en E. La composición de funciones es una operación en E, denotada por °.

²== Propiedades Generales de Operaciones ==

Las operaciones binarias, como abstracciones de las operaciones clásicas, reciben una atención especial y se destacan algunas propiedades de las mismas.

Definición 2. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. Decimos que la operación es

a. asociativa, ssi, x * (y * z) = (x * y)* z, para todo x,y,z de E.

b. conmutativa, ssi, x * y = y * x, para todo x, y de E.

c. distributiva respecto a una operación #, ssi, x * (y # z) = x * y # x * z, , (y #z) * x = y * x # z * x.

• La adición y la multiplicación en los conjuntos numéricos son asociativas y conmutativas.

• La sustración en cualquiwera de los sistemas numéricos no es ni asociativa ni conmutativa.

• La reunión y la intersección de subconjuntos son operaciones asociativas y conmutativas.

• La composición de funciones es asociativa ni conmutativa.

• La multiplicación es distributiva respecto a la adición en los conjuntos numéricos.

• La reunión y la intersección son mutuamente distributivas.

Subconjuntos Cerrados

Definición. Sea * una operación en un conjunto E. Decimos que un subconjunto S no vacío de E es cerrado o estable respecto a la operación, ssi, el resultado de la operación en dos elementos cualesquiera de S es un elemento de S. ES decir, ssi, Para todo a, b en S, se cumple que a * b está en S.

• Los Enteros como subconjunto de los Reales son cerrados respecto a la adición y a la multiplcación.

• El subconjunto de los Enteros formado por todos los cuadrados perfectos es cerrado respecto a la multiplicación, pero no respecto a la adición. En efecto, tenemos que a^2 b^2 = (ab)^2, pero 2^2 + 3^2 = 13 que no es un cuadrado perfecto.

• El subconjunto de los enteros pares es cerrado respecto a la adición y multiplicación; mientras que el subconjunto de los impares lo es respecto a la multiplicación, pero no frespecto a la adición.

Proposición . Cuando dos o más subconjuntos cerrados respecto a una operación tienen

Elementos Destacados

Definición Sea * una operación en un conjunto E. Llamamos elemento neutro (respecto a la operación *) a un elemento e de $E tal que para todo elemento a de E se cumpla que a * e = e = e * a".

• El cero, 0, es un elemento neutro respecto a la adición en los conjuntos numéricos; mientras que el 1 es neutro respecto a la multiplicación.

• El conjunto vacío es un neutro respecto a la reunión de conjuntos, mientras que el conjunto del que estamos considerando los subconjuntos es un neutro respecto a la intersección.

• Con respecto a la composición de funciones del conjunto E en sí mismo, la función identidad, 1_E es un neutro.

Proposición 1. Sea * una operación cualquiera en un conjunto E. El elemento neutro, si existe, es único.

Demostración. Supongamos que e y e' fueran neutros respecto a la operación *. Evaluemos e * e'.

Como e es neutro, tenemos que e * e' = e'. Análogamente, como e' es un neutro, e * e '= e. Por lo tanto, e = e'.