Matemáticas/Generalidades/Factorización

Definición

Una factorización consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más factores algebraicos.

Para ello, primero se debe identificar qué tipo de factorización tenemos que realizar.

Primero caso: Cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común

En este caso se deben reconocer el factor numérico y luego el factor literal, para proceder a escribir la expresión original como el producto de factores, considerando los siguientes pasos:

a) Para encontrar el factor numérico, se busca el mayor número que está contenido en todos los factores numéricos que aparecen en la expresión.

b) El factor literal es la expresión algebraica formada por el producto de todas las variables literales que aparecen en cada uno de los términos, elevadas a la menor potencia con la que aparecen.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $9xy^{2}+6y^{4}-12y^{3}z+2y$.

Sol:

Ejemplo Factor Común

Segundo caso: Cuando el factor común es un polinomio

Este caso se produce cuando el factor común no es un monomio, si no que es una expresión algebraica con más de un término.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $a^{2}+ab+ax+bx$

Sol:

Factorización por agrupación

Tercer caso: cuando la expresión es un cuadrado perfecto

Decimos que una expresión algebraica es un cuadrado perfecto cuando éste es el producto de dos factores iguales.

Por ejemplo, el término $9x^{2}$ es un cuadrado perfecto, pues $9x^{2}=(3x)(3x)$.

Nos interesa reconocer un trinomio como cuadrado perfecto. Esto pasa cuando el trinomio es el cuadrado perfecto de un binomio, lo que se conoce como cuadrado de un binomio.

La forma genérica de un cuadrado de binomio es la siguiente:

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

Un trinomio ordenado, con relación a una variable, es un cuadrado perfecto cuando los términos primero y tercero son cuadrados perfectos, y cuando el segundo término es el doble del producto de las raíces de esos cuadrados perfectos.

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $a^{2}-10ab+25b^{2}$

Sol:

Factorización por Cuadrado de Binomio

Cuarto caso: cuando la expresión es una diferencia de cuadrados perfectos

Un binomio es una suma por diferencia cuando tiene la forma $a^{2}-b^{2}$.

Esta expresión algebraica, que es un producto notable, puede ser factorizada de la forma

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $25-36x^{2}$

Sol:

Diferencia de Cuadrados Perfectos

Quinto caso: cuando el trinomio es de la forma $x^{2}+(a+b)x+ab$

Esta factorización funciona cuando se cumplen las siguientes condiciones

a) El coeficiente del primero término es $1$.

b) El primer término es una letra cualquier elevada al cuadrado.

c) El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente $1$.

d) El tercer término es independiente de la letra que aparece en los primeros dos términos, y es una cantidad cualquier, positiva o negativa.

e) Además, se cumple lo siguiente: el coeficiente del segundo término es la suma de dos términos, cuyo producto es el tercer término.

La factorización bajo estas condiciones está dada por

$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

Ejemplo

Queremos factorizar el trinomio $x^{2}+7x+10$

Sol:

Factorización Trinomio de la Forma

Caso seis: cuando el binomio es una suma o diferencia de cubos perfectos

Este producto notable se conoce por la forma $x^{3}\pm y^{3}$, y se factoriza de la siguiente manera:

$x^{3}\pm y^{3}=(x\pm y)(x^{2}\mp xy+y^{2})$

Ejemplo

Queremos factorizar la expresión $27x^{3}-125y^{3}z^{9}$

Sol:

Diferencia de Cubos Perfectos

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Álgebra/Capítulos a reubicar/Ejercicios Propuestos de Casos de Factorización.