Matemáticas/Espacios Métricos/Conjuntos

Los Conjuntos

Este apéndice contiene un resumen de las nociones acerca de conjuntos usadas en el texto

Las Operaciones con Subconjuntos

Los conjuntos son usualmente denotados por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas. Los conjuntos se presentan ya sea por enumeración o por especificación. La presentación por enumeración presenta explícitamente los elementos como por ejemplo {1, 3, 5, 7, 9}. Las presentación por especificación indica los elementos como aquellos que satisfacen una propiedad. Por ejemplo, podemos expresar el conjunto anterior como {x en N: x es impar y menor que 10}.

(Igualdad.) Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

(Inclusión.) Cuando todos los elementos de un conjunto A están en un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B (A ⊂ B) o que B es un superconjunto de A (A ⊃ B). En ambas relaciones los conjuntos pueden ser iguales. Notemos que A = B, ssi, A ⊂ B y B ⊂ A.

(Conjunto vacío) El conjunto vacío es un conjunto sin elementos denotado por { } o ∅. El conjunto vacío está contenido en cualquier otro conjunto.

(Operaciones con Subconjuntos Supondremos que todos nuestros conjuntos son subconjuntos de un conjunto $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ , llamado el conjunto universal o universo del discurso. Recordemos las principales operaciones con conjuntos. Sean A y B conjuntos (subconjuntos del universal).

(Reunión^[1]) A ∪ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A o x ∈ B}.
(Intersección) A ∩ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∈ B.
(Complemento) A^c = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ≠ A}.
(Diferencia) A \ B = { x ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$ : x ∈ A y x ∉ B}.

Suponemos conocidas las principales propiedades de esas operaciones. En particular que la reunión e intersección son asociativas, conmutativas, idempotentes y distributivas una respecto a la otra.

Algunas Propiedades Especiales

Las siguientes propiedades se usan frecuentemente en el texto. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se cumple que:

A = B, ssi, (A ⊂ B) y (B ⊂ A).
A ⊂ B ==> B^c ⊂ A^c.
(Leyes de Morgan) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c y (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.
A, B ⊂ C ==> A ∪ B ⊂ C.
A, B ⊃ C ==> A ∩ B ⊃ C.

↑ Prefiero usar reunión en vez de unión, porque caracteriza más la idea envuelta.

[1] Prefiero usar reunión en vez de unión, porque caracteriza más la idea envuelta.

[1]