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Teorema de Pascal

Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta. El teorema de Pascal, descubierto por Blaise Pascal (1623-1662) la edad de 16 años se refiere a puntos alineados: Si los 6 vértices de un hexágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados. En la recta que contiene los tres puntos de intersección se la conoce como recta de Pascal. A continuación ver cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.

Este teorema puede demostrarse mediante el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon. El teorema de Pascal no termina ahí. Porque dados 6 puntos, no podemos encontrar sólo una recta de Pascal. A partir de 6 puntos es posible considerar 60 hexágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. Al mismo tiempo, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker. Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los cuales hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman de tal manera que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límite

• El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices seguidos del hexágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.

Por ejemplo,

• En cualquier pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto, y los puntos de intersección de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.

En la figura, la recta tangente (de color rojo) a uno de los puntos ha sustituido a uno de los lados del hexágono.

Para un cuadrilátero podemos expresar:

• En cualquier cuadrilátero inscrito en una cónica, si se dibujan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto del otro, son tres puntos en línea recta.

O también:

• En cualquier cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta.

Por último, para un triángulo:

• En cualquier triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes dibujadas pasando por los vértices opuestos, son tres puntos en línea recta.